कैलकुलस उदाहरण

$\int x^{2} e^{8 x} d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x^{2}$ और $d v = e^{8 x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$x^{2} (\frac{1}{8} e^{8 x}) - \int \frac{1}{8} e^{8 x} (2 x) d x$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{8}$ और $e^{8 x}$ को मिलाएं.

$x^{2} \frac{e^{8 x}}{8} - \int \frac{1}{8} e^{8 x} (2 x) d x$

चरण 2.2

$x^{2}$ और $\frac{e^{8 x}}{8}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \int \frac{1}{8} e^{8 x} (2 x) d x$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{8} \cdot 2$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{8} \cdot 2$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot 2 \int e^{8 x} (x) d x)$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{1}{8}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - (\frac{2}{8} \int e^{8 x} (x) d x)$

चरण 4.2

$2$ और $8$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - (\frac{2 (1)}{8} \int e^{8 x} (x) d x)$

चरण 4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} \int e^{8 x} (x) d x)$

चरण 4.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} \int e^{8 x} (x) d x)$

चरण 4.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - (\frac{1}{4} \int e^{8 x} (x) d x)$

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} \int e^{8 x} (x) d x$

चरण 5

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{8 x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (x (\frac{1}{8} e^{8 x}) - \int \frac{1}{8} e^{8 x} d x)$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{1}{8}$ और $e^{8 x}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (x \frac{e^{8 x}}{8} - \int \frac{1}{8} e^{8 x} d x)$

चरण 6.2

$x$ और $\frac{e^{8 x}}{8}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \int \frac{1}{8} e^{8 x} d x)$

चरण 6.3

$\frac{1}{8}$ और $e^{8 x}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \int \frac{e^{8 x}}{8} d x)$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{8}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{8}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - (\frac{1}{8} \int e^{8 x} d x))$

चरण 8

मान लीजिए $u = 8 x$ .फिर $d u = 8 d x$ , तो $\frac{1}{8} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

मान लें $u = 8 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$8 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [8 x]$

चरण 8.1.2

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 x$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$8 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 8.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$8 \cdot 1$

चरण 8.1.4

$8$ को $1$ से गुणा करें.

$8$

चरण 8.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{1}{8} \int e^{u} \frac{1}{8} d u)$

चरण 9

$e^{u}$ और $\frac{1}{8}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{1}{8} \int \frac{e^{u}}{8} d u)$

चरण 10

चूँकि $\frac{1}{8}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{8}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{1}{8} (\frac{1}{8} \int e^{u} d u))$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$\frac{1}{8}$ को $\frac{1}{8}$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{1}{8 \cdot 8} \int e^{u} d u)$

चरण 11.2

$8$ को $8$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{1}{64} \int e^{u} d u)$

चरण 12

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{1}{64} (e^{u} + C))$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{1}{64} (e^{u} + C))$ को $\frac{1}{8} x^{2} e^{8 x} - \frac{1}{4} (\frac{1}{8} x e^{8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{8} x^{2} e^{8 x} - \frac{1}{4} (\frac{1}{8} x e^{8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

चरण 13.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1

$\frac{1}{8}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2}}{8} e^{8 x} - \frac{1}{4} (\frac{1}{8} x e^{8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

चरण 13.2.2

$\frac{x^{2}}{8}$ और $e^{8 x}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{1}{8} x e^{8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

चरण 13.2.3

$\frac{1}{8}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x}{8} e^{8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

चरण 13.2.4

$\frac{x}{8}$ और $e^{8 x}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

चरण 13.2.5

$e^{u}$ और $\frac{1}{64}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64}) + C$

चरण 13.2.6

$- \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64})$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{8}{8}$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64}) \cdot \frac{8}{8} + C$

चरण 13.2.7

$- \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64})$ और $\frac{8}{8}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} e^{8 x}}{8} + \frac{- \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64}) \cdot 8}{8} + C$

चरण 13.2.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{1}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64}) \cdot 8}{8} + C$

चरण 13.2.9

$8$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} e^{8 x} - 8 (\frac{1}{4}) (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64})}{8} + C$

चरण 13.2.10

$- 8$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} e^{8 x} + \frac{- 8}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64})}{8} + C$

चरण 13.2.11

$- 8$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.11.1

$- 8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} e^{8 x} + \frac{4 \cdot - 2}{4} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64})}{8} + C$

चरण 13.2.11.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.11.2.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} e^{8 x} + \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64})}{8} + C$

चरण 13.2.11.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{2} e^{8 x} + \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64})}{8} + C$

चरण 13.2.11.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} e^{8 x} + \frac{- 2}{1} (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64})}{8} + C$

चरण 13.2.11.2.4

$- 2$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{x^{2} e^{8 x} - 2 (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{u}}{64})}{8} + C$

चरण 14

$u$ की सभी घटनाओं को $8 x$ से बदलें.

$\frac{x^{2} e^{8 x} - 2 (\frac{x e^{8 x}}{8} - \frac{e^{8 x}}{64})}{8} + C$

चरण 15

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} e^{8 x} - 2 \frac{x e^{8 x}}{8} - 2 (- \frac{e^{8 x}}{64})}{8} + C$

चरण 15.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} e^{8 x} + 2 (- 1) \frac{x e^{8 x}}{8} - 2 (- \frac{e^{8 x}}{64})}{8} + C$

चरण 15.2.2

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} e^{8 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{8 x}}{2 \cdot 4} - 2 (- \frac{e^{8 x}}{64})}{8} + C$

चरण 15.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{2} e^{8 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{8 x}}{2 \cdot 4} - 2 (- \frac{e^{8 x}}{64})}{8} + C$

चरण 15.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{x e^{8 x}}{4} - 2 (- \frac{e^{8 x}}{64})}{8} + C$

चरण 15.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.3.1

$- \frac{e^{8 x}}{64}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{x e^{8 x}}{4} - 2 \frac{- e^{8 x}}{64}}{8} + C$

चरण 15.3.2

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{x e^{8 x}}{4} + 2 (- 1) \frac{- e^{8 x}}{64}}{8} + C$

चरण 15.3.3

$64$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{x e^{8 x}}{4} + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{8 x}}{2 \cdot 32}}{8} + C$

चरण 15.3.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{x e^{8 x}}{4} + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{8 x}}{2 \cdot 32}}{8} + C$

चरण 15.3.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{x e^{8 x}}{4} - \frac{- e^{8 x}}{32}}{8} + C$

चरण 15.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.4.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{x e^{8 x}}{4} - - \frac{e^{8 x}}{32}}{8} + C$

चरण 15.4.2

$- - \frac{e^{8 x}}{32}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.4.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{x e^{8 x}}{4} + 1 \frac{e^{8 x}}{32}}{8} + C$

चरण 15.4.2.2

$\frac{e^{8 x}}{32}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} e^{8 x} - \frac{x e^{8 x}}{4} + \frac{e^{8 x}}{32}}{8} + C$

चरण 16

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{8} (x^{2} e^{8 x} - \frac{1}{4} x e^{8 x} + \frac{1}{32} e^{8 x}) + C$