कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{x}{x^{4} + 2 x^{2} + 1} d x$

चरण 1

आंशिक भिन्न अपघटन का प्रयोग करके भिन्न लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

भिन्न को विघटित करें और सामान्य भाजक से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

भिन्न का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

$x^{4}$ को ${(x^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x}{{(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1}$

चरण 1.1.1.2

मान लीजिए $u = x^{2}$ . $x^{2}$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$\frac{x}{u^{2} + 2 u + 1}$

चरण 1.1.1.3

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x}{u^{2} + 2 u + 1^{2}}$

चरण 1.1.1.3.2

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

चरण 1.1.1.3.3

बहुपद को फिर से लिखें.

$\frac{x}{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}$

चरण 1.1.1.3.4

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = u$ और $b = 1$ है.

$\frac{x}{{(u + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.4

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.2

भाजक में प्रत्येक कारक के लिए, भिन्न के रूप में कारक का उपयोग करके और न्यूमेरेटर के रूप में एक अज्ञात मान का उपयोग करके एक नया न्यूमेरेटर बनाएंं. चूँकि गुणनखंड दूसरा क्रम है, न्यूमेरेटर में $2$ पद आवश्यक हैं. न्यूमेरेटर में आवश्यक पदों की संख्या हमेशा भाजक के गुणनखंड के क्रम के बराबर होती है.

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.3

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 1}$

चरण 1.1.4

मूल व्यंजक के भाजक से समीकरण में प्रत्येक भिन्न को गुणा करें. इस स्थिति में, भाजक ${(x^{2} + 1)}^{2}$ होगा.

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

चरण 1.1.5

${(x^{2} + 1)}^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

चरण 1.1.5.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

चरण 1.1.6

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.1

${(x^{2} + 1)}^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \frac{(A x + B) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

चरण 1.1.6.1.2

$A x + B$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = A x + B + \frac{(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

चरण 1.1.6.2

${(x^{2} + 1)}^{2}$ और $x^{2} + 1$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.2.1

$(C x + D) {(x^{2} + 1)}^{2}$ में से $x^{2} + 1$ का गुणनखंड करें.

$x = A x + B + \frac{(x^{2} + 1) ((C x + D) (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

चरण 1.1.6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.2.2.1

$1$ से गुणा करें.

$x = A x + B + \frac{(x^{2} + 1) ((C x + D) (x^{2} + 1))}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

चरण 1.1.6.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = A x + B + \frac{(x^{2} + 1) ((C x + D) (x^{2} + 1))}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

चरण 1.1.6.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = A x + B + \frac{(C x + D) (x^{2} + 1)}{1}$

चरण 1.1.6.2.2.4

$(C x + D) (x^{2} + 1)$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = A x + B + (C x + D) (x^{2} + 1)$

चरण 1.1.6.3

FOIL विधि का उपयोग करके $(C x + D) (x^{2} + 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x = A x + B + C x (x^{2} + 1) + D (x^{2} + 1)$

चरण 1.1.6.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 1 + D (x^{2} + 1)$

चरण 1.1.6.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x = A x + B + C x \cdot x^{2} + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

चरण 1.1.6.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.4.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.4.1.1

$x^{2}$ ले जाएं.

$x = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

चरण 1.1.6.4.1.2

$x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.4.1.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = A x + B + C (x^{2} x) + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

चरण 1.1.6.4.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x = A x + B + C x^{2 + 1} + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

चरण 1.1.6.4.1.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$x = A x + B + C x^{3} + C x \cdot 1 + D x^{2} + D \cdot 1$

चरण 1.1.6.4.2

$C$ को $1$ से गुणा करें.

$x = A x + B + C x^{3} + C x + D x^{2} + D \cdot 1$

चरण 1.1.6.4.3

$D$ को $1$ से गुणा करें.

$x = A x + B + C x^{3} + C x + D x^{2} + D$

चरण 1.1.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.7.1

$B$ ले जाएं.

$x = A x + C x^{3} + C x + D x^{2} + B + D$

चरण 1.1.7.2

$C x$ ले जाएं.

$x = A x + C x^{3} + D x^{2} + C x + B + D$

चरण 1.1.7.3

$A x$ ले जाएं.

$x = C x^{3} + D x^{2} + A x + C x + B + D$

चरण 1.2

आंशिक भिन्न चर के लिए समीकरण बनाएंं और समीकरणों की प्रणाली स्थापित करने के लिए उनका उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

समीकरण के दोनों ओर के $x^{3}$ के पक्ष को समान करके आंशिक भिन्न चरों के लिए एक समीकरण बनाएंँ. समीकरण को समान बनाने के लिए समीकरण के दोनों ओर के तुल्यांकी पक्ष को समान होना होगा.

$0 = C$

चरण 1.2.2

समीकरण के दोनों ओर के $x^{2}$ के पक्ष को समान करके आंशिक भिन्न चरों के लिए एक समीकरण बनाएंँ. समीकरण को समान बनाने के लिए समीकरण के दोनों ओर के तुल्यांकी पक्ष को समान होना होगा.

$0 = D$

चरण 1.2.3

समीकरण के दोनों ओर के $x$ के पक्ष को समान करके आंशिक भिन्न चरों के लिए एक समीकरण बनाएंँ. समीकरण को समान बनाने के लिए समीकरण के दोनों ओर के तुल्यांकी पक्ष को समान होना होगा.

$1 = A + C$

चरण 1.2.4

उन पदों, जिनमें $x$ न हो, के गुणांकों को समान करके आंशिक भिन्न चरों के लिए एक समीकरण बनाएंँ. समीकरण को समान बनाने के लिए समीकरण के दोनों ओर के तुल्यांकी पक्ष को समान होना चाहिए.

$0 = B + D$

चरण 1.2.5

आंशिक भिन्नों के गुणांक ज्ञात करने के लिए समीकरणों की प्रणाली सेट करें.

$0 = C$

$0 = D$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

$0 = C$

$0 = D$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

चरण 1.3

समीकरणों की प्रणाली को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

समीकरण को $C = 0$ के रूप में फिर से लिखें.

$C = 0$

$0 = D$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

चरण 1.3.2

प्रत्येक समीकरण में $C$ की सभी घटनाओं को $0$ से बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

समीकरण को $D = 0$ के रूप में फिर से लिखें.

$D = 0$

$C = 0$

$1 = A + C$

$0 = B + D$

चरण 1.3.2.2

$C$ की सभी घटनाओं को $1 = A + C$ में $0$ से बदलें.

$1 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

चरण 1.3.2.3

$1 = A + 0$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.3.1.1

कोष्ठक हटा दें.

$1 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A + 0$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

चरण 1.3.2.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.3.2.1

$A$ और $0$ जोड़ें.

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

$1 = A$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

चरण 1.3.3

प्रत्येक समीकरण में $D$ की सभी घटनाओं को $0$ से बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

समीकरण को $A = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + D$

चरण 1.3.3.2

$D$ की सभी घटनाओं को $0 = B + D$ में $0$ से बदलें.

$0 = B + 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

चरण 1.3.3.3

$0 = B + 0$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.3.1.1

कोष्ठक हटा दें.

$0 = B + 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B + 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

चरण 1.3.3.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.3.2.1

$B$ और $0$ जोड़ें.

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

$0 = B$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

चरण 1.3.4

समीकरण को $B = 0$ के रूप में फिर से लिखें.

$B = 0$

$A = 1$

$D = 0$

$C = 0$

चरण 1.3.5

समीकरणों की प्रणाली को हल करें.

$B = 0 A = 1 D = 0 C = 0$

चरण 1.3.6

सभी हलों की सूची बनाएंं.

$B = 0, A = 1, D = 0, C = 0$

चरण 1.4

$\frac{A x + B}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 1}$ में प्रत्येक आंशिक भिन्न गुणांक को $A$ , $B$ , $C$ और $D$ के लिए पाए गए मानों से बदलें.

$\frac{1 x + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0 x + 0}{x^{2} + 1}$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

चरण 1.5.1.2

$x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

चरण 1.5.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1

$0$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0 + 0}{x^{2} + 1}$

चरण 1.5.2.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0}{x^{2} + 1}$

चरण 1.5.3

$0$ को $x^{2} + 1$ से विभाजित करें.

$\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 0$

चरण 1.5.4

व्यंजक से शून्य को हटा दें.

$\int \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x$

चरण 2

मान लीजिए $u = x^{2} + 1$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u = x^{2} + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$x^{2} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 2.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 0$

चरण 2.1.5

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{1}{u^{2}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

चरण 3.2

$2$ को $u^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{1}{2 u^{2}} d u$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

चरण 5

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$u^{2}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\frac{1}{2} \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

चरण 5.2

घातांक को ${(u^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{2 \cdot - 1} d u$

चरण 5.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \int u^{- 2} d u$

चरण 6

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- 2}$ का समाकलन $- u^{- 1}$ है.

$\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C)$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C)$ को $\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C$

चरण 7.2

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{u}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2 u} + C$

चरण 8

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 1$ से बदलें.

$- \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} + C$