कैलकुलस उदाहरण

$\int \cos^{3} (4 x) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{1} = 4 x$ .फिर $d u_{1} = 4 d x$ , तो $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{1} = 4 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$4 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [4 x]$

चरण 1.1.2

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 \cdot 1$

चरण 1.1.4

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4$

चरण 1.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \cos^{3} (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1}$

चरण 2

$\cos^{3} (u_{1})$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$\int \frac{\cos^{3} (u_{1})}{4} d u_{1}$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

चरण 4

$\cos^{2} (u_{1})$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{4} \int \cos^{2} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

चरण 5

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\cos^{2} (u_{1})$ को $1 - \sin^{2} (u_{1})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} \int (1 - \sin^{2} (u_{1})) \cos (u_{1}) d u_{1}$

चरण 6

मान लीजिए $u_{2} = \sin (u_{1})$ .फिर $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , तो $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लें $u_{2} = \sin (u_{1})$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$\sin (u_{1})$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

चरण 6.1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\sin (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{1})$ है.

$\cos (u_{1})$

चरण 6.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} \int 1 - {u_{2}}^{2} d u_{2}$

चरण 7

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{4} (\int d u_{2} + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

चरण 8

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{4} (u_{2} + C + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

चरण 9

चूँकि $- 1$ बटे $u_{2}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{4} (u_{2} + C - \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

चरण 10

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में ${u_{2}}^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ है.

$\frac{1}{4} (u_{2} + C - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C))$

चरण 11

सरल करें.

$\frac{1}{4} (u_{2} - \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

चरण 12

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\sin (u_{1})$ से बदलें.

$\frac{1}{4} (\sin (u_{1}) - \frac{1}{3} \sin^{3} (u_{1})) + C$

चरण 12.2

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $4 x$ से बदलें.

$\frac{1}{4} (\sin (4 x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (4 x)) + C$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\sin^{3} (4 x)$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{4} (\sin (4 x) - \frac{\sin^{3} (4 x)}{3}) + C$

चरण 13.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{4} \sin (4 x) + \frac{1}{4} (- \frac{\sin^{3} (4 x)}{3}) + C$

चरण 13.3

$\frac{1}{4}$ और $\sin (4 x)$ को मिलाएं.

$\frac{\sin (4 x)}{4} + \frac{1}{4} (- \frac{\sin^{3} (4 x)}{3}) + C$

चरण 13.4

$\frac{1}{4} (- \frac{\sin^{3} (4 x)}{3})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.4.1

$\frac{1}{4}$ को $\frac{\sin^{3} (4 x)}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{\sin (4 x)}{4} - \frac{\sin^{3} (4 x)}{4 \cdot 3} + C$

चरण 13.4.2

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{\sin (4 x)}{4} - \frac{\sin^{3} (4 x)}{12} + C$

चरण 14

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{4} \sin (4 x) - \frac{1}{12} \sin^{3} (4 x) + C$