कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{x^{2} - 1}{x^{3} + x} d x$

चरण 1

आंशिक भिन्न अपघटन का प्रयोग करके भिन्न लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

भिन्न को विघटित करें और सामान्य भाजक से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

भिन्न का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{3} + x}$

चरण 1.1.1.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{3} + x}$

चरण 1.1.1.3

$x^{3} + x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.1

$x^{3}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x}$

चरण 1.1.1.3.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x^{1}}$

चरण 1.1.1.3.3

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

चरण 1.1.1.3.4

$x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x^{2} + 1)}$

चरण 1.1.2

भाजक में प्रत्येक कारक के लिए, भिन्न के रूप में कारक का उपयोग करके और न्यूमेरेटर के रूप में एक अज्ञात मान का उपयोग करके एक नया न्यूमेरेटर बनाएंं. चूँकि गुणनखंड दूसरा क्रम है, न्यूमेरेटर में $2$ पद आवश्यक हैं. न्यूमेरेटर में आवश्यक पदों की संख्या हमेशा भाजक के गुणनखंड के क्रम के बराबर होती है.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

चरण 1.1.3

मूल व्यंजक के भाजक से समीकरण में प्रत्येक भिन्न को गुणा करें. इस स्थिति में, भाजक $x (x^{2} + 1)$ होगा.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

चरण 1.1.4

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

चरण 1.1.4.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

चरण 1.1.4.2

$x^{2} + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

चरण 1.1.4.2.2

$(x + 1) (x - 1)$ को $1$ से विभाजित करें.

$(x + 1) (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

चरण 1.1.5

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + 1) (x - 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x (x - 1) + 1 (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

चरण 1.1.5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

चरण 1.1.5.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

चरण 1.1.6

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

चरण 1.1.6.1.2

$- 1$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

चरण 1.1.6.1.3

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

चरण 1.1.6.1.4

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

चरण 1.1.6.1.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{2} - x + x - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

चरण 1.1.6.2

$- x$ और $x$ जोड़ें.

$x^{2} + 0 - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

चरण 1.1.6.3

$x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$x^{2} - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

चरण 1.1.7

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.7.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.7.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{2} - 1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

चरण 1.1.7.1.2

$A (x^{2} + 1)$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} - 1 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

चरण 1.1.7.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

चरण 1.1.7.3

$A$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

चरण 1.1.7.4

$x^{2} + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.7.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

चरण 1.1.7.4.2

$(B x + C) (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

चरण 1.1.7.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

चरण 1.1.7.6

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.7.6.1

$x$ ले जाएं.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

चरण 1.1.7.6.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

चरण 1.1.8

$A$ ले जाएं.

$x^{2} - 1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

चरण 1.2

आंशिक भिन्न चर के लिए समीकरण बनाएंं और समीकरणों की प्रणाली स्थापित करने के लिए उनका उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

समीकरण के दोनों ओर के $x^{2}$ के पक्ष को समान करके आंशिक भिन्न चरों के लिए एक समीकरण बनाएंँ. समीकरण को समान बनाने के लिए समीकरण के दोनों ओर के तुल्यांकी पक्ष को समान होना होगा.

$1 = A + B$

चरण 1.2.2

समीकरण के दोनों ओर के $x$ के पक्ष को समान करके आंशिक भिन्न चरों के लिए एक समीकरण बनाएंँ. समीकरण को समान बनाने के लिए समीकरण के दोनों ओर के तुल्यांकी पक्ष को समान होना होगा.

$0 = C$

चरण 1.2.3

उन पदों, जिनमें $x$ न हो, के गुणांकों को समान करके आंशिक भिन्न चरों के लिए एक समीकरण बनाएंँ. समीकरण को समान बनाने के लिए समीकरण के दोनों ओर के तुल्यांकी पक्ष को समान होना चाहिए.

$- 1 = A$

चरण 1.2.4

आंशिक भिन्नों के गुणांक ज्ञात करने के लिए समीकरणों की प्रणाली सेट करें.

$1 = A + B$

$0 = C$

$- 1 = A$

$1 = A + B$

$0 = C$

$- 1 = A$

चरण 1.3

समीकरणों की प्रणाली को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

समीकरण को $C = 0$ के रूप में फिर से लिखें.

$C = 0$

$1 = A + B$

$- 1 = A$

चरण 1.3.2

समीकरण को $A = - 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$A = - 1$

$C = 0$

$1 = A + B$

चरण 1.3.3

प्रत्येक समीकरण में $A$ की सभी घटनाओं को $- 1$ से बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

$A$ की सभी घटनाओं को $1 = A + B$ में $- 1$ से बदलें.

$1 = (- 1) + B$

$A = - 1$

$C = 0$

चरण 1.3.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 0$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 0$

$1 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 0$

चरण 1.3.4

$B$ के लिए $1 = - 1 + B$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.4.1

समीकरण को $- 1 + B = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 1 + B = 1$

$A = - 1$

$C = 0$

चरण 1.3.4.2

$B$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.4.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$B = 1 + 1$

$A = - 1$

$C = 0$

चरण 1.3.4.2.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$B = 2$

$A = - 1$

$C = 0$

$B = 2$

$A = - 1$

$C = 0$

$B = 2$

$A = - 1$

$C = 0$

चरण 1.3.5

समीकरणों की प्रणाली को हल करें.

$B = 2 A = - 1 C = 0$

चरण 1.3.6

सभी हलों की सूची बनाएंं.

$B = 2, A = - 1, C = 0$

चरण 1.4

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ में प्रत्येक आंशिक भिन्न गुणांक को $A$ , $B$ और $C$ के लिए पाए गए मानों से बदलें.

$- \frac{1}{x} + \frac{2 x + 0}{x^{2} + 1}$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

कोष्ठक हटा दें.

$\frac{- 1}{x} + \frac{(2) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

चरण 1.5.2

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{- 1}{x} + \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

चरण 1.5.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int - \frac{1}{x} + \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 3

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 4

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 5

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 6

मान लीजिए $u = x^{2} + 1$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लें $u = x^{2} + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$x^{2} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 6.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 6.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 6.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 0$

चरण 6.1.5

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 6.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

चरण 7.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- (\ln (| x |) + C) + 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

चरण 8

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$- (\ln (| x |) + C) + 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 9.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 9.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- (\ln (| x |) + C) + 1 \int \frac{1}{u} d u$

चरण 9.3

$\int \frac{1}{u} d u$ को $1$ से गुणा करें.

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{u} d u$

चरण 10

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$- (\ln (| x |) + C) + \ln (| u |) + C$

चरण 11

सरल करें.

$- \ln (| x |) + \ln (| u |) + C$

चरण 12

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 1$ से बदलें.

$- \ln (| x |) + \ln (| x^{2} + 1 |) + C$