कैलकुलस उदाहरण

$\sqrt{x + y} = 1 + x^{2} y^{2}$

चरण 1

$\sqrt{x + y}$ को ${(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 1 + x^{2} y^{2}$

चरण 2

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (1 + x^{2} y^{2})$

चरण 3

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = x + y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + y]$

चरण 3.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + y]$

चरण 3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + y$ से बदलें.

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + y]$

चरण 3.2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

चरण 3.3

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

चरण 3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

चरण 3.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

चरण 3.5.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

चरण 3.6

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

चरण 3.6.2

$\frac{1}{2}$ और ${(x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(x + y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + y]$

चरण 3.6.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + y]$

चरण 3.7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ है.

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

चरण 3.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

चरण 3.9

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y')$

चरण 3.10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.10.1

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y')$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(1 + y') \frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 3.10.2

$1 + y'$ को $\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x^{2} y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

चरण 4.1.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

चरण 4.2

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y^{2}$ है.

$0 + x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 4.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$0 + x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 4.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 + x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 4.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$0 + x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 4.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$0 + x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 4.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 + x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x)$

चरण 4.2.5

$2$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$0 + 2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

चरण 4.2.6

$2$ को $y^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$0 + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

चरण 4.3

$0$ और $2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$ जोड़ें.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

चरण 5

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

चरण 6

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

दोनों पक्षों को $2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$2 \frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1 + y'}{{(x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.1.1.3

${(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1 + y'}{{(x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.1.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 + y' = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.1.1.4

$1$ और $y'$ को पुन: क्रमित करें.

$y' + 1 = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$(2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' + 1 = 2 x^{2} y y' (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + 2 y^{2} x (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.2.1.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1.2.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$y' + 1 = 4 x^{2} y y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y^{2} x (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 6.2.2.1.2.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$y' + 1 = 4 x^{2} y y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 4 y^{2} x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

चरण 6.2.2.1.2.3

$y$ ले जाएं.

$y' + 1 = 4 x^{2} y' y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 4 y^{2} x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

चरण 6.2.2.1.2.4

$x^{2}$ ले जाएं.

$y' + 1 = 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 4 y^{2} x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

चरण 6.2.2.1.2.5

$y^{2}$ ले जाएं.

$y' + 1 = 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

चरण 6.3

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ घटाएं.

$y' + 1 - 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

चरण 6.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$y' - 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$

चरण 6.3.3

$y' - 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.1

${y'}^{1}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' \cdot 1 - 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$

चरण 6.3.3.2

$- 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' \cdot 1 + y' (- 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$

चरण 6.3.3.3

$y' \cdot 1 + y' (- 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$

चरण 6.3.4

$y' (1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$ के प्रत्येक पद को $1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.4.1

$y' (1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$ के प्रत्येक पद को $1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ से विभाजित करें.

$\frac{y' (1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 1}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.3.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.4.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

चरण 6.3.4.2.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 1}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.3.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.4.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 7

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$