कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = - 3 x \sqrt{x + 1}$

चरण 1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\sqrt{x + 1}$ को ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [- 3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.2

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ है.

$- 3 \frac{d}{d x} [x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ है.

$- 3 (x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = x + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + 1$ के रूप में सेट करें.

$- 3 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$- 3 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 1$ से बदलें.

$- 3 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- 3 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$- 3 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- 3 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- 3 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 7.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$- 3 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 8

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- 3 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 8.2

$\frac{1}{2}$ और ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$- 3 (x (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 8.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$- 3 (x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 8.4

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ और $x$ को मिलाएं.

$- 3 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 9

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$- 3 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 10

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 3 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 11

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 3 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 12

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$- 3 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 12.2

$\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ को $1$ से गुणा करें.

$- 3 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 13

$- 3 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

चरण 14

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$- 3 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 15

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$- 3 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

चरण 16

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ और $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$- 3 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

चरण 17

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- 3 \frac{x + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 18

घातांक जोड़कर ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ को ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$- 3 \frac{x + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 18.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 3 \frac{x + {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 18.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- 3 \frac{x + {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 18.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- 3 \frac{x + {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 18.5

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$- 3 \frac{x + {(x + 1)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.1

${(x + 1)}^{1} \cdot 2$ को सरल करें.

$- 3 \frac{x + (x + 1) \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19.2

$2$ को $x + 1$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- 3 \frac{x + 2 \cdot (x + 1)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 20

$- 3$ और $\frac{x + 2 (x + 1)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 3 (x + 2 (x + 1))}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 21

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{3 (x + 2 (x + 1))}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 22

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 22.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{3 (x + 2 x + 2 \cdot 1)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 22.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{3 x + 3 (2 x) + 3 (2 \cdot 1)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 22.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 22.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 22.3.1.1

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$- \frac{3 x + 6 x + 3 (2 \cdot 1)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 22.3.1.2

$3 (2 \cdot 1)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 22.3.1.2.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{3 x + 6 x + 3 \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 22.3.1.2.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{3 x + 6 x + 6}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 22.3.2

$3 x$ और $6 x$ जोड़ें.

$- \frac{9 x + 6}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 22.4

$9 x + 6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 22.4.1

$9 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{3 (3 x) + 6}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 22.4.2

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{3 (3 x) + 3 (2)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 22.4.3

$3 (3 x) + 3 (2)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{3 (3 x + 2)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$