कैलकुलस उदाहरण

$y = \ln (\frac{x}{1 + x^{2}})$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = \frac{x}{1 + x^{2}}$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{x}{1 + x^{2}}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

चरण 1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{x}{1 + x^{2}}$ से बदलें.

$\frac{1}{\frac{x}{1 + x^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

चरण 2

$\frac{x}{1 + x^{2}}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$1 \frac{1 + x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

चरण 3

$\frac{1 + x^{2}}{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1 + x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

चरण 4

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = 1 + x^{2}$ है.

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

चरण 5

अवकलन करें.

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चरण 5.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

चरण 5.2

$1 + x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

चरण 5.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

चरण 5.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

चरण 5.5

$0$ और $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ जोड़ें.

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

चरण 5.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

चरण 5.7

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

चरण 6

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

चरण 7

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x^{1})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

चरण 8

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

चरण 9

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

चरण 10

$x^{2}$ में से $2 x^{2}$ घटाएं.

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

चरण 11

$\frac{1 + x^{2}}{x}$ को $\frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{(1 + x^{2}) (1 - x^{2})}{x {(1 + x^{2})}^{2}}$

चरण 12

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

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चरण 12.1

$x {(1 + x^{2})}^{2}$ में से $1 + x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(1 + x^{2}) (1 - x^{2})}{(1 + x^{2}) (x (1 + x^{2}))}$

चरण 12.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(1 + x^{2}) (1 - x^{2})}{(1 + x^{2}) (x (1 + x^{2}))}$

चरण 12.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1 - x^{2}}{x (1 + x^{2})}$

चरण 13

सरल करें.

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चरण 13.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1 - x^{2}}{x \cdot 1 + x \cdot x^{2}}$

चरण 13.2

पदों को मिलाएं.

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चरण 13.2.1

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1 - x^{2}}{x + x \cdot x^{2}}$

चरण 13.2.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

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चरण 13.2.2.1

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

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चरण 13.2.2.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1 - x^{2}}{x + x^{1} x^{2}}$

चरण 13.2.2.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1 - x^{2}}{x + x^{1 + 2}}$

चरण 13.2.2.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{1 - x^{2}}{x + x^{3}}$

चरण 13.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- x^{2} + 1}{x^{3} + x}$