कैलकुलस उदाहरण

$y = x \sin (\frac{2}{x})$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \sin (\frac{2}{x})$ है.

$x \frac{d}{d x} [\sin (\frac{2}{x})] + \sin (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = \frac{2}{x}$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{2}{x}$ के रूप में सेट करें.

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]) + \sin (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$x (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]) + \sin (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{2}{x}$ से बदलें.

$x (\cos (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]) + \sin (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{2}{x}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ है.

$x (\cos (\frac{2}{x}) (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])) + \sin (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.2

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x (\cos (\frac{2}{x}) (2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])) + \sin (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$x (\cos (\frac{2}{x}) (2 (- x^{- 2}))) + \sin (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.4

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$x (\cos (\frac{2}{x}) (- 2 x^{- 2})) + \sin (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 4

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x^{- 2} x^{1} (\cos (\frac{2}{x}) \cdot (- 2)) + \sin (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x^{- 2 + 1} (\cos (\frac{2}{x}) \cdot (- 2)) + \sin (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 6.1

$- 2$ और $1$ जोड़ें.

$x^{- 1} (\cos (\frac{2}{x}) \cdot (- 2)) + \sin (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 6.2

$- 2$ को $\cos (\frac{2}{x})$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x^{- 1} (- 2 \cdot \cos (\frac{2}{x})) + \sin (\frac{2}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x^{- 1} (- 2 \cos (\frac{2}{x})) + \sin (\frac{2}{x}) \cdot 1$

चरण 8

$\sin (\frac{2}{x})$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{- 1} (- 2 \cos (\frac{2}{x})) + \sin (\frac{2}{x})$

चरण 9

सरल करें.

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चरण 9.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{x} (- 2 \cos (\frac{2}{x})) + \sin (\frac{2}{x})$

चरण 9.2

पदों को मिलाएं.

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चरण 9.2.1

$- 2$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{- 2}{x} \cos (\frac{2}{x}) + \sin (\frac{2}{x})$

चरण 9.2.2

$\frac{- 2}{x}$ और $\cos (\frac{2}{x})$ को मिलाएं.

$\frac{- 2 \cos (\frac{2}{x})}{x} + \sin (\frac{2}{x})$

चरण 9.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{2 \cos (\frac{2}{x})}{x} + \sin (\frac{2}{x})$