कैलकुलस उदाहरण

${(\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)})}^{2}$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}]$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ से बदलें.

$2 \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}]$

चरण 2

$2$ और $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ को मिलाएं.

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}]$

चरण 3

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 1 + \cos (x)$ है.

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 4

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + \cos (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 5.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 5.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ जोड़ें.

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 6

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 7

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 7.2

$\sin (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 8

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 9

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 10

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 11

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 12

$\frac{2 \sin (x)}{1 + \cos (x)}$ को $\frac{(1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{2 \sin (x) ((1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{(1 + \cos (x)) {(1 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 13

घातांक जोड़कर $1 + \cos (x)$ को ${(1 + \cos (x))}^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$1 + \cos (x)$ को ${(1 + \cos (x))}^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1

$1 + \cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 \sin (x) ((1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{1} {(1 + \cos (x))}^{2}}$

चरण 13.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 \sin (x) ((1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{1 + 2}}$

चरण 13.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{2 \sin (x) ((1 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

चरण 14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 \sin (x) (1 \cos (x) + \cos (x) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

चरण 14.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 \sin (x) (1 \cos (x)) + 2 \sin (x) (\cos (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

चरण 14.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.1

$2 \sin (x)$ और $1$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{1 \cdot (2 \sin (x)) \cos (x) + 2 \sin (x) (\cos (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

चरण 14.3.2

$1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (\cos (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

चरण 14.3.3

ज्या दोहरा कोण सर्वसमिका लागू करें.

$\frac{\sin (2 x) + 2 \sin (x) (\cos (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

चरण 14.3.4

ज्या दोहरा कोण सर्वसमिका लागू करें.

$\frac{\sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (x) + 2 \sin (x) \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

चरण 14.3.5

घातांक जोड़कर $\sin (x)$ को $\sin^{2} (x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.5.1

$\sin^{2} (x)$ ले जाएं.

$\frac{\sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (x) + 2 (\sin^{2} (x) \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

चरण 14.3.5.2

$\sin^{2} (x)$ को $\sin (x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.5.2.1

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (x) + 2 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

चरण 14.3.5.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (x) + 2 {\sin (x)}^{2 + 1}}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

चरण 14.3.5.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{\sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (x) + 2 \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$

चरण 14.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{\cos (x) \sin (2 x) + \sin (2 x) + 2 \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{3}}$