कैलकुलस उदाहरण

$y = 1 - x^{2}$ , $y = 0$

चरण 1

ठोस का आयतन ज्ञात करने के लिए, पहले प्रत्येक स्लाइस के क्षेत्र को परिभाषित करें और फिर पूरे रेंज में एकीकृत करें. प्रत्येक स्लाइस का क्षेत्रफल $f (x)$ और $A = π r^{2}$ त्रिज्या वाले वृत्तों का क्षेत्रफल है.

$V = π \int_{- 1}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ जहां $f (x) = - x^{2} + 1$

चरण 2

समाकल्य को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

${(- x^{2} + 1)}^{2}$ को $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$V = (- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$

चरण 2.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$V = - x^{2} (- x^{2} + 1) + 1 (- x^{2} + 1)$

चरण 2.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2} + 1)$

चरण 2.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

चरण 2.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

चरण 2.3.1.2

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.2.1

$x^{2}$ ले जाएं.

$V = - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

चरण 2.3.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

चरण 2.3.1.2.3

$2$ और $2$ जोड़ें.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{4}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

चरण 2.3.1.3

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$V = 1 x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

चरण 2.3.1.4

$x^{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$V = x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

चरण 2.3.1.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$V = x^{4} - x^{2} + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

चरण 2.3.1.6

$- x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$V = x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1 \cdot 1$

चरण 2.3.1.7

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$V = x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1$

चरण 2.3.2

$- x^{2}$ में से $x^{2}$ घटाएं.

$V = x^{4} - 2 x^{2} + 1$

चरण 3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$V = π (\int_{- 1}^{1} x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

चरण 4

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{4}$ का समाकलन $\frac{1}{5} x^{5}$ है.

$V = π (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

चरण 5

$\frac{1}{5}$ और $x^{5}$ को मिलाएं.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

चरण 6

चूँकि $- 2$ बटे $x$ अचर है, $- 2$ को समाकलन से हटा दें.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

चरण 7

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

चरण 8

$\frac{1}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

चरण 9

स्थिरांक नियम लागू करें.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1})$

चरण 10

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}$ और $x]_{- 1}^{1}$ को मिलाएं.

$V = π (\frac{x^{5}}{5} + x]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}))$

चरण 10.2

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$1$ पर और $- 1$ पर $\frac{x^{5}}{5} + x$ का मान ज्ञात करें.

$V = π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}))$

चरण 10.2.2

$1$ पर और $- 1$ पर $\frac{x^{3}}{3}$ का मान ज्ञात करें.

$V = π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

चरण 10.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$V = π (\frac{1}{5} + 1 - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

चरण 10.2.3.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$V = π (\frac{1}{5} + \frac{5}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

चरण 10.2.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$V = π (\frac{1 + 5}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

चरण 10.2.3.4

$1$ और $5$ जोड़ें.

$V = π (\frac{6}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

चरण 10.2.3.5

$- 1$ को $5$ के घात तक बढ़ाएं.

$V = π (\frac{6}{5} - (\frac{- 1}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

चरण 10.2.3.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

चरण 10.2.3.7

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

चरण 10.2.3.8

$- 1$ और $\frac{5}{5}$ को मिलाएं.

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

चरण 10.2.3.9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 1 - 1 \cdot 5}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

चरण 10.2.3.10

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.10.1

$- 1$ को $5$ से गुणा करें.

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 1 - 5}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

चरण 10.2.3.10.2

$- 1$ में से $5$ घटाएं.

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

चरण 10.2.3.11

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$V = π (\frac{6}{5} + \frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

चरण 10.2.3.12

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$V = π (\frac{6}{5} + 1 (\frac{6}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

चरण 10.2.3.13

$\frac{6}{5}$ को $1$ से गुणा करें.

$V = π (\frac{6}{5} + \frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

चरण 10.2.3.14

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$V = π (\frac{6 + 6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

चरण 10.2.3.15

$6$ और $6$ जोड़ें.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

चरण 10.2.3.16

एक का कोई भी घात एक होता है.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

चरण 10.2.3.17

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}))$

चरण 10.2.3.18

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}))$

चरण 10.2.3.19

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})))$

चरण 10.2.3.20

$\frac{1}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}))$

चरण 10.2.3.21

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 \frac{1 + 1}{3})$

चरण 10.2.3.22

$1$ और $1$ जोड़ें.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{2}{3}))$

चरण 10.2.3.23

$- 2$ और $\frac{2}{3}$ को मिलाएं.

$V = π (\frac{12}{5} + \frac{- 2 \cdot 2}{3})$

चरण 10.2.3.24

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$V = π (\frac{12}{5} + \frac{- 4}{3})$

चरण 10.2.3.25

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$V = π (\frac{12}{5} - \frac{4}{3})$

चरण 10.2.3.26

$\frac{12}{5}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$V = π (\frac{12}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3})$

चरण 10.2.3.27

$- \frac{4}{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$V = π (\frac{12}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

चरण 10.2.3.28

प्रत्येक व्यंजक को $15$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.28.1

$\frac{12}{5}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

चरण 10.2.3.28.2

$5$ को $3$ से गुणा करें.

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

चरण 10.2.3.28.3

$\frac{4}{3}$ को $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

चरण 10.2.3.28.4

$3$ को $5$ से गुणा करें.

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4 \cdot 5}{15})$

चरण 10.2.3.29

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$V = π (\frac{12 \cdot 3 - 4 \cdot 5}{15})$

चरण 10.2.3.30

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.30.1

$12$ को $3$ से गुणा करें.

$V = π (\frac{36 - 4 \cdot 5}{15})$

चरण 10.2.3.30.2

$- 4$ को $5$ से गुणा करें.

$V = π (\frac{36 - 20}{15})$

चरण 10.2.3.30.3

$36$ में से $20$ घटाएं.

$V = π (\frac{16}{15})$

चरण 10.2.3.31

$π$ और $\frac{16}{15}$ को मिलाएं.

$V = \frac{π \cdot 16}{15}$

चरण 10.2.3.32

$16$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$V = \frac{16 π}{15}$

चरण 11

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$V = \frac{16 π}{15}$

दशमलव रूप:

$V = 3.35103216 \dots$

चरण 12