कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{\frac{5}{4}}$ , $y = 3 x^{\frac{1}{4}}$

चरण 1

वक्रों के बीच प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए प्रतिस्थापन द्वारा हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

प्रत्येक समीकरण के बराबर पक्षों का विलोप करें और संयोजित करें.

$x^{\frac{5}{4}} = 3 x^{\frac{1}{4}}$

चरण 1.2

$x$ के लिए $x^{\frac{5}{4}} = 3 x^{\frac{1}{4}}$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

LCD (अल्प सामान्य भाजक) द्वारा दोनों घातांक को गुणा करके भिन्नात्मक घातांक को हटा दें.

${(x^{\frac{5}{4}})}^{4} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

चरण 1.2.2

घातांक को ${(x^{\frac{5}{4}})}^{4}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{5}{4} \cdot 4} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

चरण 1.2.2.2

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{\frac{5}{4} \cdot 4} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

चरण 1.2.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{5} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

चरण 1.2.3

${(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

उत्पाद नियम को $3 x^{\frac{1}{4}}$ पर लागू करें.

$x^{5} = 3^{4} {(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

चरण 1.2.3.2

$3$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$x^{5} = 81 {(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

चरण 1.2.3.3

घातांक को ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{5} = 81 x^{\frac{1}{4} \cdot 4}$

चरण 1.2.3.3.2

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{5} = 81 x^{\frac{1}{4} \cdot 4}$

चरण 1.2.3.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{5} = 81 x^{1}$

चरण 1.2.3.4

सरल करें.

$x^{5} = 81 x$

चरण 1.2.4

समीकरण के दोनों पक्षों से $81 x$ घटाएं.

$x^{5} - 81 x = 0$

चरण 1.2.5

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

$x^{5} - 81 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1.1

$x^{5}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x \cdot x^{4} - 81 x = 0$

चरण 1.2.5.1.2

$- 81 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x \cdot x^{4} + x \cdot - 81 = 0$

चरण 1.2.5.1.3

$x \cdot x^{4} + x \cdot - 81$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x (x^{4} - 81) = 0$

चरण 1.2.5.2

$x^{4}$ को ${(x^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x ({(x^{2})}^{2} - 81) = 0$

चरण 1.2.5.3

$81$ को $9^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x ({(x^{2})}^{2} - 9^{2}) = 0$

चरण 1.2.5.4

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x^{2}$ और $b = 9$ .

$x ((x^{2} + 9) (x^{2} - 9)) = 0$

चरण 1.2.5.5

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.5.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.5.1.1

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x ((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

चरण 1.2.5.5.1.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.5.1.2.1

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 3$ .

$x ((x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

चरण 1.2.5.5.1.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$x ((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)) = 0$

चरण 1.2.5.5.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$x (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$

चरण 1.2.6

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0 + y = 3 x^{\frac{1}{4}}$

चरण 1.2.7

$x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 1.2.8

$x^{2} + 9$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.8.1

$x^{2} + 9$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} + 9 = 0$

चरण 1.2.8.2

$x$ के लिए $x^{2} + 9 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.8.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $9$ घटाएं.

$x^{2} = - 9$

चरण 1.2.8.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

चरण 1.2.8.2.3

$\pm \sqrt{- 9}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.8.2.3.1

$- 9$ को $- 1 (9)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

चरण 1.2.8.2.3.2

$\sqrt{- 1 (9)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

चरण 1.2.8.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

चरण 1.2.8.2.3.4

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

चरण 1.2.8.2.3.5

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm i \cdot 3$

चरण 1.2.8.2.3.6

$3$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \pm 3 i$

चरण 1.2.8.2.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.8.2.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = 3 i$

चरण 1.2.8.2.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - 3 i$

चरण 1.2.8.2.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = 3 i, - 3 i$

चरण 1.2.9

$x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.9.1

$x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 3 = 0$

चरण 1.2.9.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $3$ घटाएं.

$x = - 3$

चरण 1.2.10

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.10.1

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 3 = 0$

चरण 1.2.10.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$x = 3$

चरण 1.2.11

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $x (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

चरण 1.3

$y$ का मूल्यांकन करें जब $x = 0$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$0$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = 3 {(0)}^{\frac{1}{4}}$

चरण 1.3.2

$0$ को $x$ के लिए $y = 3 {(0)}^{\frac{1}{4}}$ में प्रतिस्थापित करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = 3 \cdot 0^{\frac{1}{4}}$

चरण 1.3.2.2

$3 \cdot 0^{\frac{1}{4}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.2.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.2.1.1

$0$ को $0^{4}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = 3 \cdot {(0^{4})}^{\frac{1}{4}}$

चरण 1.3.2.2.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 3 \cdot 0^{4 (\frac{1}{4})}$

चरण 1.3.2.2.2

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = 3 \cdot 0^{4 (\frac{1}{4})}$

चरण 1.3.2.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = 3 \cdot 0^{1}$

चरण 1.3.2.2.3

घातांक का मान ज्ञात करें.

$y = 3 \cdot 0$

चरण 1.3.2.2.4

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$y = 0$

चरण 1.4

$y$ का मूल्यांकन करें जब $x = 3 i$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$3 i$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = 3 {(3 i)}^{\frac{1}{4}}$

चरण 1.4.2

$3 {(3 i)}^{\frac{1}{4}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

उत्पाद नियम को $3 i$ पर लागू करें.

$y = 3 (3^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}})$

चरण 1.4.2.2

घातांक जोड़कर $3$ को $3^{\frac{1}{4}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1

$3^{\frac{1}{4}}$ ले जाएं.

$y = 3^{\frac{1}{4}} \cdot 3 i^{\frac{1}{4}}$

चरण 1.4.2.2.2

$3^{\frac{1}{4}}$ को $3$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.2.1

$3$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = 3^{\frac{1}{4}} \cdot 3^{1} i^{\frac{1}{4}}$

चरण 1.4.2.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y = 3^{\frac{1}{4} + 1} i^{\frac{1}{4}}$

चरण 1.4.2.2.3

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$y = 3^{\frac{1}{4} + \frac{4}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

चरण 1.4.2.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = 3^{\frac{1 + 4}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

चरण 1.4.2.2.5

$1$ और $4$ जोड़ें.

$y = 3^{\frac{5}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

चरण 1.5

$y$ का मूल्यांकन करें जब $x = - 3 i$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$- 3 i$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = 3 {(- 3 i)}^{\frac{1}{4}}$

चरण 1.5.2

उत्पाद नियम को $- 3 i$ पर लागू करें.

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

चरण 1.6

$- 3$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}}$

चरण 1.7

$y$ का मूल्यांकन करें जब $x = 3$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

$3$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = 3 {(3)}^{\frac{1}{4}}$

चरण 1.7.2

$3$ को $x$ के लिए $y = 3 {(3)}^{\frac{1}{4}}$ में प्रतिस्थापित करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = 3 \cdot 3^{\frac{1}{4}}$

चरण 1.7.2.2

घातांक जोड़कर $3$ को $3^{\frac{1}{4}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.2.2.1

$3$ को $3^{\frac{1}{4}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.2.2.1.1

$3$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = 3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{4}}$

चरण 1.7.2.2.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y = 3^{1 + \frac{1}{4}}$

चरण 1.7.2.2.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$y = 3^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}}$

चरण 1.7.2.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = 3^{\frac{4 + 1}{4}}$

चरण 1.7.2.2.4

$4$ और $1$ जोड़ें.

$y = 3^{\frac{5}{4}}$

चरण 1.8

सभी हलों की सूची बनाएंं.

$y = 0, x = 0$

$y = 3^{\frac{5}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = - 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}}, x = - 3$

$y = 3^{\frac{5}{4}}, x = 3$

$y = 0, x = 0$

$y = 3^{\frac{5}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = - 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}}, x = - 3$

$y = 3^{\frac{5}{4}}, x = 3$

चरण 2

दिए गए वक्रों के बीच का क्षेत्र असीम है.

असीमित क्षेत्र

चरण 3