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कैलकुलस उदाहरण
चरण 1
चरण 1.1
न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.
चरण 1.1.1
न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.
चरण 1.1.2
न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.
चरण 1.1.2.1
जैसे-जैसे के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.
चरण 1.1.2.2
त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि स्पर्शरेखा सतत है.
चरण 1.1.2.3
की सभी घटनाओं के लिए को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.
चरण 1.1.2.3.1
के लिए को प्रतिस्थापित करके की सीमा का मान ज्ञात करें.
चरण 1.1.2.3.2
के लिए को प्रतिस्थापित करके की सीमा का मान ज्ञात करें.
चरण 1.1.2.4
उत्तर को सरल करें.
चरण 1.1.2.4.1
का सटीक मान है.
चरण 1.1.2.4.2
और जोड़ें.
चरण 1.1.3
भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.
चरण 1.1.3.1
सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक को से सीमा से बाभाजक ले जाएं.
चरण 1.1.3.2
के लिए को प्रतिस्थापित करके की सीमा का मान ज्ञात करें.
चरण 1.1.3.3
को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से प्राप्त होता है.
चरण 1.1.3.4
व्यंजक में से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.
अपरिभाषित
चरण 1.1.4
व्यंजक में से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.
अपरिभाषित
चरण 1.2
चूंकि अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.
चरण 1.3
न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.
चरण 1.3.1
न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.
चरण 1.3.2
योग नियम के अनुसार, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 1.3.3
के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 1.3.4
का मान ज्ञात करें.
चरण 1.3.4.1
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 1.3.4.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 1.3.4.3
को से गुणा करें.
चरण 1.3.5
पदों को पुन: व्यवस्थित करें
चरण 1.3.6
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 2
पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह के संबंध में स्थिर है.
चरण 3
चरण 3.1
न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.
चरण 3.1.1
न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.
चरण 3.1.2
न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.
चरण 3.1.2.1
सीमा का मूल्यांकन करें.
चरण 3.1.2.1.1
जैसे-जैसे के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.
चरण 3.1.2.1.2
की सीमा का मान ज्ञात करें जो के पर पहुँचने पर स्थिर होती है.
चरण 3.1.2.1.3
सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक को से सीमा से बाभाजक ले जाएं.
चरण 3.1.2.1.4
सीमा को त्रिकोणमितीय फलन के अंदर ले जाएँ क्योंकि कोटिज्या सतत है.
चरण 3.1.2.2
के लिए को प्रतिस्थापित करके की सीमा का मान ज्ञात करें.
चरण 3.1.2.3
उत्तर को सरल करें.
चरण 3.1.2.3.1
और को पुन: क्रमित करें.
चरण 3.1.2.3.2
पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.
चरण 3.1.2.3.3
का सटीक मान है.
चरण 3.1.2.3.4
को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से प्राप्त होता है.
चरण 3.1.3
भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.
चरण 3.1.3.1
सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक को से सीमा से बाभाजक ले जाएं.
चरण 3.1.3.2
के लिए को प्रतिस्थापित करके की सीमा का मान ज्ञात करें.
चरण 3.1.3.3
को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से प्राप्त होता है.
चरण 3.1.3.4
व्यंजक में से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.
अपरिभाषित
चरण 3.1.4
व्यंजक में से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.
अपरिभाषित
चरण 3.2
चूंकि अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.
चरण 3.3
न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.
चरण 3.3.1
न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.
चरण 3.3.2
योग नियम के अनुसार, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 3.3.3
चूंकि के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 3.3.4
का मान ज्ञात करें.
चरण 3.3.4.1
चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ और है.
चरण 3.3.4.1.1
चेन रूल लागू करने के लिए, को के रूप में सेट करें.
चरण 3.3.4.1.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 3.3.4.1.3
की सभी घटनाओं को से बदलें.
चरण 3.3.4.2
के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 3.3.4.3
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 3.3.4.4
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 3.3.4.5
घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम का उपयोग करें.
चरण 3.3.4.6
और जोड़ें.
चरण 3.3.5
सरल करें.
चरण 3.3.5.1
और जोड़ें.
चरण 3.3.5.2
ज्या और कोज्या के संदर्भ में को फिर से लिखें.
चरण 3.3.5.3
उत्पाद नियम को पर लागू करें.
चरण 3.3.5.4
एक का कोई भी घात एक होता है.
चरण 3.3.5.5
और को मिलाएं.
चरण 3.3.5.6
ज्या और कोज्या के संदर्भ में को फिर से लिखें.
चरण 3.3.5.7
जोड़ना.
चरण 3.3.5.8
घातांक जोड़कर को से गुणा करें.
चरण 3.3.5.8.1
को से गुणा करें.
चरण 3.3.5.8.1.1
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 3.3.5.8.1.2
घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम का उपयोग करें.
चरण 3.3.5.8.2
और जोड़ें.
चरण 3.3.6
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 3.4
भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.
चरण 3.5
को से गुणा करें.
चरण 3.6
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 3.6.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 3.6.2
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 4
चरण 4.1
न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.
चरण 4.1.1
न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.
चरण 4.1.2
न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.
चरण 4.1.2.1
त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.
चरण 4.1.2.2
के लिए को प्रतिस्थापित करके की सीमा का मान ज्ञात करें.
चरण 4.1.2.3
का सटीक मान है.
चरण 4.1.3
भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.
चरण 4.1.3.1
जैसे ही की ओर आ रहा है, उत्पाद सीमा नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.
चरण 4.1.3.2
सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक को से सीमा से बाभाजक ले जाएं.
चरण 4.1.3.3
त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.
चरण 4.1.3.4
की सभी घटनाओं के लिए को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.
चरण 4.1.3.4.1
के लिए को प्रतिस्थापित करके की सीमा का मान ज्ञात करें.
चरण 4.1.3.4.2
के लिए को प्रतिस्थापित करके की सीमा का मान ज्ञात करें.
चरण 4.1.3.5
उत्तर को सरल करें.
चरण 4.1.3.5.1
का सटीक मान है.
चरण 4.1.3.5.2
एक का कोई भी घात एक होता है.
चरण 4.1.3.5.3
को से गुणा करें.
चरण 4.1.3.5.4
व्यंजक में से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.
अपरिभाषित
चरण 4.1.3.6
व्यंजक में से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.
अपरिभाषित
चरण 4.1.4
व्यंजक में से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.
अपरिभाषित
चरण 4.2
चूंकि अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.
चरण 4.3
न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.
चरण 4.3.1
न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.
चरण 4.3.2
के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 4.3.3
गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ और है.
चरण 4.3.4
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 4.3.5
को से गुणा करें.
चरण 4.3.6
चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ और है.
चरण 4.3.6.1
चेन रूल लागू करने के लिए, को के रूप में सेट करें.
चरण 4.3.6.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 4.3.6.3
की सभी घटनाओं को से बदलें.
चरण 4.3.7
के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 4.3.8
को से गुणा करें.
चरण 4.3.9
पदों को पुन: व्यवस्थित करें
चरण 5
चरण 5.1
जैसे ही की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.
चरण 5.2
त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.
चरण 5.3
जैसे-जैसे के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.
चरण 5.4
पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह के संबंध में स्थिर है.
चरण 5.5
जैसे ही की ओर आ रहा है, उत्पाद सीमा नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.
चरण 5.6
सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक को से सीमा से बाभाजक ले जाएं.
चरण 5.7
त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.
चरण 5.8
त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि ज्या सतत है.
चरण 5.9
सीमा घात नियम का उपयोग करके घातांक को से सीमा से बाभाजक ले जाएं.
चरण 5.10
त्रिकोणमितीय फलन के भीतर सीमा को खिसकाएँ क्योंकि कोज्या सतत है.
चरण 6
चरण 6.1
के लिए को प्रतिस्थापित करके की सीमा का मान ज्ञात करें.
चरण 6.2
के लिए को प्रतिस्थापित करके की सीमा का मान ज्ञात करें.
चरण 6.3
के लिए को प्रतिस्थापित करके की सीमा का मान ज्ञात करें.
चरण 6.4
के लिए को प्रतिस्थापित करके की सीमा का मान ज्ञात करें.
चरण 6.5
के लिए को प्रतिस्थापित करके की सीमा का मान ज्ञात करें.
चरण 7
चरण 7.1
का सटीक मान है.
चरण 7.2
भाजक को सरल करें.
चरण 7.2.1
को से गुणा करें.
चरण 7.2.2
का सटीक मान है.
चरण 7.2.3
एक का कोई भी घात एक होता है.
चरण 7.2.4
को से गुणा करें.
चरण 7.2.5
का सटीक मान है.
चरण 7.2.6
को से गुणा करें.
चरण 7.2.7
का सटीक मान है.
चरण 7.2.8
एक का कोई भी घात एक होता है.
चरण 7.2.9
और जोड़ें.
चरण 7.3
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 7.3.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 7.3.2
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 7.4
को से गुणा करें.
चरण 8
परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.
सटीक रूप:
दशमलव रूप: