कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \cos (π x)$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = π x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $π x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π x]$

चरण 1.1.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [π x]$

चरण 1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $π x$ से बदलें.

$- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $π$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $π x$ का व्युत्पन्न $π \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- \sin (π x) (π \cdot 1)$

चरण 1.2.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$π$ को $1$ से गुणा करें.

$- \sin (π x) π$

चरण 1.2.3.2

$- \sin (π x) π$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$- π \sin (π x)$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $- π$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- π \sin (π x)$ का व्युत्पन्न $- π \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$ है.

$f'' (x) = - π \frac{d}{d x} \sin (π x)$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = π x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $π x$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = - π (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (π x))$

चरण 2.2.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$f'' (x) = - π (\cos (u) \frac{d}{d x} (π x))$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $π x$ से बदलें.

$f'' (x) = - π (\cos (π x) \frac{d}{d x} (π x))$

चरण 2.3

चूंकि $π$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $π x$ का व्युत्पन्न $π \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = - π \cos (π x) (π \frac{d}{d x} (x))$

चरण 2.4

$π$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = - π π \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

चरण 2.5

$π$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = - π π \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

चरण 2.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = - π^{1 + 1} \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

चरण 2.7

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = - π^{2} \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

चरण 2.8

$f'' (x) = - π^{2} \cos (π x) \cdot 1$

चरण 2.9

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - π^{2} \cos (π x)$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$- π \sin (π x) = 0$

चरण 4

$- π \sin (π x) = 0$ के प्रत्येक पद को $- π$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$- π \sin (π x) = 0$ के प्रत्येक पद को $- π$ से विभाजित करें.

$\frac{- π \sin (π x)}{- π} = \frac{0}{- π}$

चरण 4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{π \sin (π x)}{π} = \frac{0}{- π}$

चरण 4.2.2

$π$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{π \sin (π x)}{π} = \frac{0}{- π}$

चरण 4.2.2.2

$\sin (π x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\sin (π x) = \frac{0}{- π}$

चरण 4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$0$ को $- π$ से विभाजित करें.

$\sin (π x) = 0$

चरण 5

ज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.

$π x = \arcsin (0)$

चरण 6

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\arcsin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$π x = 0$

चरण 7

$π x = 0$ के प्रत्येक पद को $π$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$π x = 0$ के प्रत्येक पद को $π$ से विभाजित करें.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

चरण 7.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$π$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

चरण 7.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{0}{π}$

चरण 7.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$0$ को $π$ से विभाजित करें.

$x = 0$

चरण 8

पहले और दूसरे चतुर्थांश में ज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, दूसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$π x = π - 0$

चरण 9

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$π x = π + 0$

चरण 9.1.2

$π$ और $0$ जोड़ें.

$π x = π$

चरण 9.2

$π x = π$ के प्रत्येक पद को $π$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$π x = π$ के प्रत्येक पद को $π$ से विभाजित करें.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

चरण 9.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.1

$π$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

चरण 9.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{π}{π}$

चरण 9.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.3.1

$π$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \frac{π}{π}$

चरण 9.2.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = 1$

चरण 10

समीकरण का हल $π x = 0$ .

$x = 0, 1$

चरण 11

$x = 0$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- π^{2} \cos (π (0))$

चरण 12

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$π$ को $0$ से गुणा करें.

$- π^{2} \cos (0)$

चरण 12.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$- π^{2} \cdot 1$

चरण 12.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- π^{2}$

चरण 13

$x = 0$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = 0$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 14

$x = 0$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f (0) = \cos (π (0))$

चरण 14.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

$π$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = \cos (0)$

चरण 14.2.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$f (0) = 1$

चरण 14.2.3

अंतिम उत्तर $1$ है.

$y = 1$

चरण 15

$x = 1$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- π^{2} \cos (π (1))$

चरण 16

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

$π$ को $1$ से गुणा करें.

$- π^{2} \cos (π)$

चरण 16.2

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$- π^{2} (- \cos (0))$

चरण 16.3

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$- π^{2} (- 1 \cdot 1)$

चरण 16.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- π^{2} \cdot - 1$

चरण 16.5

$- π^{2} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.5.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 π^{2}$

चरण 16.5.2

$π^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$π^{2}$

चरण 17

$x = 1$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = 1$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 18

$x = 1$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f (1) = \cos (π (1))$

चरण 18.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.1

$π$ को $1$ से गुणा करें.

$f (1) = \cos (π)$

चरण 18.2.2

$f (1) = - \cos (0)$

चरण 18.2.3

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$f (1) = - 1 \cdot 1$

चरण 18.2.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f (1) = - 1$

चरण 18.2.5

अंतिम उत्तर $- 1$ है.

$y = - 1$

चरण 19

ये $f (x) = \cos (π x)$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(0, 1)$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

$(1, - 1)$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

चरण 20