कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \ln (x)$ है.

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.2

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$x^{2}$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.3.2

$x^{2}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.3.2.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.3.2.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.3.2.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.3.2.2.5

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$x + \ln (x) (2 x)$

चरण 1.3.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$2 x \ln (x) + x$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x \ln (x) + x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x \ln (x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ है.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

चरण 2.2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \ln (x)$ है.

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

चरण 2.2.3

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

चरण 2.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

चरण 2.2.5

$x$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

चरण 2.2.6

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

चरण 2.2.6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

चरण 2.2.7

$\ln (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

चरण 2.3

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

चरण 2.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

चरण 2.4.2.2

$2$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$2 x \ln (x) + x = 0$

चरण 4

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 4.1.2

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

$x^{2}$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 4.1.3.2

$x^{2}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.2.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 4.1.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 4.1.3.2.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 4.1.3.2.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 4.1.3.2.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 4.1.3.2.2.5

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 4.1.3.3

$x + \ln (x) (2 x)$

चरण 4.1.3.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

चरण 4.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $2 x \ln (x) + x$ है.

$2 x \ln (x) + x$

चरण 5

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $2 x \ln (x) + x = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 x \ln (x) + x = 0$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $x$ घटाएं.

$2 x \ln (x) = - x$

चरण 5.3

$2 x \ln (x) = - x$ के प्रत्येक पद को $2 x$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$2 x \ln (x) = - x$ के प्रत्येक पद को $2 x$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

चरण 5.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

चरण 5.3.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

चरण 5.3.2.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

चरण 5.3.2.2.2

$\ln (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

चरण 5.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

चरण 5.3.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (x) = \frac{- 1}{2}$

चरण 5.3.3.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\ln (x) = - \frac{1}{2}$

चरण 5.4

$x$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

चरण 5.5

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (x) = - \frac{1}{2}$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{- \frac{1}{2}} = x$

चरण 5.6

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

समीकरण को $x = e^{- \frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = e^{- \frac{1}{2}}$

चरण 5.6.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

यह पता लगाने के लिए कि व्यंजक कहाँ अपरिभाषित है, तर्क को $\ln (x)$ से कम या उसके बराबर $0$ में सेट करें.

$x \leq 0$

चरण 6.2

समीकरण अपरिभाषित है जहाँ भाजक $0$ के बराबर है, एक वर्गमूल का तर्क $0$ से कम है या एक लघुगणक का तर्क $0$ से कम या उसके बराबर है.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

चरण 7

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

चरण 8

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$2 \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) + 3$

चरण 9

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

ऋणात्मक घातांक नियम $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ का उपयोग करके $e^{\frac{1}{2}}$ को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$2 \ln (e^{- \frac{1}{2}}) + 3$

चरण 9.1.2

$- \frac{1}{2}$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ का प्रसार करें.

$2 (- \frac{1}{2} \ln (e)) + 3$

चरण 9.1.3

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$2 (- \frac{1}{2} \cdot 1) + 3$

चरण 9.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$2 (- \frac{1}{2}) + 3$

चरण 9.1.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.5.1

$- \frac{1}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$2 (\frac{- 1}{2}) + 3$

चरण 9.1.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 (\frac{- 1}{2}) + 3$

चरण 9.1.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 1 + 3$

चरण 9.2

$- 1$ और $3$ जोड़ें.

$2$

चरण 10

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 11

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ से बदलें.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

चरण 11.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ पर लागू करें.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1^{2}}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

चरण 11.2.1.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

चरण 11.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.2.1

घातांक को ${(e^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.2.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

चरण 11.2.2.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.2.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

चरण 11.2.2.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

चरण 11.2.2.2

सरल करें.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

चरण 11.2.3

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (e^{- \frac{1}{2}})$

चरण 11.2.4

$- \frac{1}{2}$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ का प्रसार करें.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot \ln (e))$

चरण 11.2.5

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot 1)$

चरण 11.2.6

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2})$

चरण 11.2.7

$\frac{1}{e}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = - \frac{1}{e \cdot 2}$

चरण 11.2.8

$2$ को $e$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = - \frac{1}{2 e}$

चरण 11.2.9

अंतिम उत्तर $- \frac{1}{2 e}$ है.

$y = - \frac{1}{2 e}$

चरण 12

ये $f (x) = x^{2} \ln (x)$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, - \frac{1}{2 e})$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

चरण 13