कैलकुलस उदाहरण

$\sum_{n = 1}^{8} - 4 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

चरण 1

एक परिमित ज्यामितीय श्रृंखला का योग सूत्र $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ का उपयोग करके पता किया जा सकता है जहां $a$ पहला पद है और $r$ क्रमिक पदों के बीच का अनुपात है.

चरण 2

सूत्र $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ में प्लग इन करके और सरलीकरण करके क्रमागत पदों का अनुपात ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$a_{n}$ और $a_{n + 1}$ को $r$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$r = \frac{- 4 {(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{- 4 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

चरण 2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$- 4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$r = \frac{- 4 {(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{- 4 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

चरण 2.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

चरण 2.2.2

${(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ और ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

${(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ में से ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ का गुणनखंड करें.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

चरण 2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.2.1

$1$ से गुणा करें.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

चरण 2.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

चरण 2.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

चरण 2.2.2.2.4

${(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$ को $1$ से विभाजित करें.

$r = {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$

चरण 2.2.3

$n$ और $0$ जोड़ें.

$r = {(\frac{1}{3})}^{n - (n - 1)}$

चरण 2.2.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$r = {(\frac{1}{3})}^{n - n - - 1}$

चरण 2.2.4.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$r = {(\frac{1}{3})}^{n - n + 1}$

चरण 2.2.5

$n$ में से $n$ घटाएं.

$r = {(\frac{1}{3})}^{0 + 1}$

चरण 2.2.6

$0$ और $1$ जोड़ें.

$r = {(\frac{1}{3})}^{1}$

चरण 2.2.7

सरल करें.

$r = \frac{1}{3}$

चरण 3

निम्न परिबंध में प्रतिस्थापित करके और सरलीकरण करके श्रृंखला का पहला पद ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$n$ के स्थान पर $- 4 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ में $1$ प्रतिस्थापित करें.

$a = - 4 {(\frac{1}{3})}^{1 - 1}$

चरण 3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$1$ में से $1$ घटाएं.

$a = - 4 {(\frac{1}{3})}^{0}$

चरण 3.2.2

उत्पाद नियम को $\frac{1}{3}$ पर लागू करें.

$a = - 4 \frac{1^{0}}{3^{0}}$

चरण 3.2.3

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$a = - 4 \frac{1}{3^{0}}$

चरण 3.2.4

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$a = - 4 (\frac{1}{1})$

चरण 3.2.5

$1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$a = - 4 (\frac{1}{1})$

चरण 3.2.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$a = - 4 \cdot 1$

चरण 3.2.6

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$a = - 4$

चरण 4

योग सूत्र में अनुपात, प्रथम पद और पदों की संख्या के मान को प्रतिस्थापित करें.

$- 4 \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$- 4 (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{8}}{1 - \frac{1}{3}})$

चरण 5.1.2

जोड़ना.

$- 4 \frac{3 (1 - {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 (1 - \frac{1}{3})}$

चरण 5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{1}{3})}$

चरण 5.3

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$- \frac{1}{3}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$- 4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

चरण 5.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- 4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

चरण 5.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$- 4 \frac{3 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.2

उत्पाद नियम को $\frac{1}{3}$ पर लागू करें.

$- 4 \frac{3 + 3 (- \frac{1^{8}}{3^{8}})}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.3

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1

$- \frac{1^{8}}{3^{8}}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$- 4 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3^{8}}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.3.2

$3^{8}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$- 4 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- 4 \frac{3 + 3 \frac{- 1^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 4 \frac{3 + \frac{- 1^{8}}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.4

एक का कोई भी घात एक होता है.

$- 4 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.5

$3$ को $7$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 4 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.6

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 4 \frac{3 + \frac{- 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- 4 \frac{3 - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.8

$3$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2187}{2187}$ से गुणा करें.

$- 4 \frac{3 \cdot \frac{2187}{2187} - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.9

$3$ और $\frac{2187}{2187}$ को मिलाएं.

$- 4 \frac{\frac{3 \cdot 2187}{2187} - \frac{1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.10

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- 4 \frac{\frac{3 \cdot 2187 - 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.11

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.11.1

$3$ को $2187$ से गुणा करें.

$- 4 \frac{\frac{6561 - 1}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.4.11.2

$6561$ में से $1$ घटाएं.

$- 4 \frac{\frac{6560}{2187}}{3 \cdot 1 - 1}$

चरण 5.5

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$- 4 \frac{\frac{6560}{2187}}{3 - 1}$

चरण 5.5.2

$3$ में से $1$ घटाएं.

$- 4 \frac{\frac{6560}{2187}}{2}$

चरण 5.6

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$- 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (- 2) \frac{\frac{6560}{2187}}{2}$

चरण 5.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \cdot - 2 \frac{\frac{6560}{2187}}{2}$

चरण 5.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 2 (\frac{6560}{2187})$

चरण 5.7

$- 2$ और $\frac{6560}{2187}$ को मिलाएं.

$\frac{- 2 \cdot 6560}{2187}$

चरण 5.8

$- 2$ को $6560$ से गुणा करें.

$\frac{- 13120}{2187}$

चरण 5.9

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{13120}{2187}$

चरण 6

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- \frac{13120}{2187}$

दशमलव रूप:

$- 5.99908550 \dots$

मिश्रित संख्या रूप:

$- 5 \frac{2185}{2187}$