कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{1}{\sqrt{4 + x^{2}}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $x = 2 \tan (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $2 \sec^{2} (t)$ सकारात्मक है.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

उत्पाद नियम को $2 \tan (t)$ पर लागू करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 + 2^{2} \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 2.1.1.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 2.1.2

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 2.1.3

$4 \tan^{2} (t)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 2.1.4

$4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1 + \tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 2.1.5

पदों को पुनर्व्यवस्थित करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 2.1.6

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 2.1.7

$4 \sec^{2} (t)$ को ${(2 \sec (t))}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 2.1.8

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 2.2

$2 \sec (t)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$2 \sec^{2} (t)$ में से $2 \sec (t)$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

चरण 2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

चरण 2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \sec (t) d t$

चरण 3

$t$ के संबंध में $\sec (t)$ का इंटीग्रल $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ है.

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

चरण 4

$t$ की सभी घटनाओं को $\arctan (\frac{x}{2})$ से बदलें.

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |) + C$

चरण 5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{1}{2} x)) + \tan (\arctan (\frac{1}{2} x)) |) + C$