कैलकुलस उदाहरण

$\int x^{3} \sqrt{x^{2} - 1} d x$

चरण 1

मान लीजिए $x = \sec (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $\sec (t) \tan (t)$ सकारात्मक है.

$\int \sec^{3} (t) \sqrt{\sec^{2} (t) - 1} (\sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int \sec^{3} (t) \sqrt{\tan^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 2.1.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int \sec^{3} (t) \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 2.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

$\sec (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \sec^{1} (t) \sec^{3} (t) \tan (t) \tan (t) d t$

चरण 2.2.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int {\sec (t)}^{1 + 3} \tan (t) \tan (t) d t$

चरण 2.2.1.3

$1$ और $3$ जोड़ें.

$\int \sec^{4} (t) \tan (t) \tan (t) d t$

चरण 2.2.1.4

$\tan (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \sec^{4} (t) (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

चरण 2.2.1.5

$\tan (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \sec^{4} (t) (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

चरण 2.2.1.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int \sec^{4} (t) {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

चरण 2.2.1.7

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\int \sec^{4} (t) \tan^{2} (t) d t$

चरण 2.2.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$4$ को $2$ जोड़ $2$ के रूप में फिर से लिखें

$\int {\sec (t)}^{2 + 2} \tan^{2} (t) d t$

चरण 2.2.2.2

${\sec (t)}^{2 + 2}$ को $\sec^{2} (t) \sec^{2} (t)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int \sec^{2} (t) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

चरण 3

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\sec^{2} (t)$ को $1 + \tan^{2} (t)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int (1 + \tan^{2} (t)) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

चरण 4

मान लीजिए $u = \tan (t)$ .फिर $d u = \sec^{2} (t) d t$ , तो $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u = \tan (t)$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\tan (t)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [\tan (t)]$

चरण 4.1.2

$t$ के संबंध में $\tan (t)$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (t)$ है.

$\sec^{2} (t)$

चरण 4.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int (1 + u^{2}) u^{2} d u$

चरण 5

$(1 + u^{2}) u^{2}$ गुणा करें.

$\int 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$u^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\int u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

चरण 6.2

घातांक जोड़कर $u^{2}$ को $u^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int u^{2} + u^{2 + 2} d u$

चरण 6.2.2

$2$ और $2$ जोड़ें.

$\int u^{2} + u^{4} d u$

चरण 7

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

चरण 8

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} u^{3}$ है.

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int u^{4} d u$

चरण 9

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{4}$ का समाकलन $\frac{1}{5} u^{5}$ है.

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \frac{1}{5} u^{5} + C$

चरण 10

सरल करें.

$\frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

चरण 11

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$u$ की सभी घटनाओं को $\tan (t)$ से बदलें.

$\frac{1}{3} \tan^{3} (t) + \frac{1}{5} \tan^{5} (t) + C$

चरण 11.2

$t$ की सभी घटनाओं को $arcsec (x)$ से बदलें.

$\frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (x)) + \frac{1}{5} \tan^{5} (arcsec (x)) + C$