कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{x + 3}{x^{2} + 6 x + 7} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = x^{2} + 6 x + 7$ .फिर $d u = (2 x + 6) d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = (x + 3) d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u = x^{2} + 6 x + 7$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$x^{2} + 6 x + 7$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 7]$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

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चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 6 x + 7$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7]$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [6 x]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 1.1.3.1

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 x$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

चरण 1.1.3.3

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$2 x + 6 + \frac{d}{d x} [7]$

चरण 1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

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चरण 1.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $7$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $7$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 6 + 0$

चरण 1.1.4.2

$2 x + 6$ और $0$ जोड़ें.

$2 x + 6$

चरण 1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2

सरल करें.

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चरण 2.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

चरण 2.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{1}{2 u} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 4

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

चरण 5

सरल करें.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

चरण 6

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 6 x + 7$ से बदलें.

$\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 6 x + 7 |) + C$