कैलकुलस उदाहरण

$\int x e^{3 x^{2}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{2} = e^{3 x^{2}}$ .फिर $d u_{2} = 6 x e^{3 x^{2}} d x$ , तो $\frac{1}{6} d u_{2} = x e^{3 x^{2}} d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 1.1

मान लें $u_{2} = e^{3 x^{2}}$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 1.1.1

$e^{3 x^{2}}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x^{2}}]$

चरण 1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 3 x^{2}$ है.

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चरण 1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $3 x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

चरण 1.1.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

चरण 1.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $3 x^{2}$ से बदलें.

$e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

चरण 1.1.3

अवकलन करें.

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चरण 1.1.3.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{2}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$e^{3 x^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$e^{3 x^{2}} (3 (2 x))$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$e^{3 x^{2}} (6 x)$

चरण 1.1.4

सरल करें.

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चरण 1.1.4.1

$e^{3 x^{2}} (6 x)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$6 e^{3 x^{2}} x$

चरण 1.1.4.2

गुणनखंडों को $6 e^{3 x^{2}} x$ में पुन: क्रमित करें.

$6 x e^{3 x^{2}}$

चरण 1.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{6} d u_{2}$

चरण 2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{6} u_{2} + C$

चरण 3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $e^{3 x^{2}}$ से बदलें.

$\frac{1}{6} e^{3 x^{2}} + C$