कैलकुलस उदाहरण

$\int 5 x \cos (2 x) d x$

चरण 1

चूँकि $5$ बटे $x$ अचर है, $5$ को समाकलन से हटा दें.

$5 \int x \cos (2 x) d x$

चरण 2

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = \cos (2 x)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$5 (x (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x)$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{1}{2}$ और $\sin (2 x)$ को मिलाएं.

$5 (x \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x)$

चरण 3.2

$x$ और $\frac{\sin (2 x)}{2}$ को मिलाएं.

$5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x)$

चरण 3.3

$\frac{1}{2}$ और $\sin (2 x)$ को मिलाएं.

$5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \int \frac{\sin (2 x)}{2} d x)$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \int \sin (2 x) d x))$

चरण 5

मान लीजिए $u = 2 x$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u = 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 5.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 5.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \int \sin (u) \frac{1}{2} d u)$

चरण 6

$\sin (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin (u)}{2} d u)$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u))$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \sin (u) d u)$

चरण 8.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} \int \sin (u) d u)$

चरण 9

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का इंटीग्रल $- \cos (u)$ है.

$5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u) + C))$

चरण 10

$5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u) + C))$ को $5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4}) + C$

चरण 11

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$5 (\frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (2 x)}{4}) + C$

चरण 12

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$5 (\frac{1}{2} x \sin (2 x) + \frac{1}{4} \cos (2 x)) + C$