कैलकुलस उदाहरण

$\int x \arcsin (x) d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \arcsin (x)$ और $d v = x$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\arcsin (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\arcsin (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

चरण 2.2

$\arcsin (x)$ और $\frac{x^{2}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x)$

चरण 4

$x^{2}$ और $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

चरण 5

मान लीजिए $x = \sin (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = \cos (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $\cos (t)$ सकारात्मक है.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

चरण 6

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

चरण 6.1.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

चरण 6.2

$\cos (t)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

चरण 6.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \sin^{2} (t) d t$

चरण 7

$\sin^{2} (t)$ को $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

चरण 8

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t)$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 - \cos (2 t) d t$

चरण 9.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} \int 1 - \cos (2 t) d t$

चरण 10

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (\int d t + \int - \cos (2 t) d t)$

चरण 11

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C + \int - \cos (2 t) d t)$

चरण 12

चूँकि $- 1$ बटे $t$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C - \int \cos (2 t) d t)$

चरण 13

मान लीजिए $u = 2 t$ .फिर $d u = 2 d t$ , तो $\frac{1}{2} d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

मान लें $u = 2 t$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1

$2 t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

चरण 13.1.2

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

चरण 13.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 13.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 13.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

चरण 14

$\cos (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

चरण 15

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

चरण 16

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

चरण 17

सरल करें.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} (t - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

चरण 18

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

$t$ की सभी घटनाओं को $\arcsin (x)$ से बदलें.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

चरण 18.2

$u$ की सभी घटनाओं को $2 t$ से बदलें.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

चरण 18.3

$t$ की सभी घटनाओं को $\arcsin (x)$ से बदलें.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C$

चरण 19

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.1

$\sin (2 \arcsin (x))$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} (\arcsin (x) - \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

चरण 19.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} \arcsin (x) - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

चरण 19.3

$\arcsin (x)$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

चरण 19.4

$- \frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + 1 (\frac{1}{4}) \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

चरण 19.4.2

$\frac{1}{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

चरण 19.4.3

$\frac{1}{4}$ को $\frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4 \cdot 2} + C$

चरण 19.4.4

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{8} + C$

चरण 19.5

$\frac{1}{2}$ और $\arcsin (x)$ को मिलाएं.

$\frac{\arcsin (x)}{2} x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{8} + C$

चरण 19.6

$\frac{\arcsin (x)}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{8} + C$

चरण 20

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.1

गुणनखंडों को $\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{x^{2} \arcsin (x)}{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{8} + C$

चरण 20.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{2} x^{2} \arcsin (x) - \frac{1}{4} \arcsin (x) + \frac{1}{8} \sin (2 \arcsin (x)) + C$