कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{1} x^{11} {(1 + x^{12})}^{11} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 1 + x^{12}$ .फिर $d u = 12 x^{11} d x$ , तो $\frac{1}{12} d u = x^{11} d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = 1 + x^{12}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$1 + x^{12}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [1 + x^{12}]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x^{12}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{12}]$ है.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{12}]$

चरण 1.1.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{12}]$

चरण 1.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 12$ है.

$0 + 12 x^{11}$

चरण 1.1.5

$0$ और $12 x^{11}$ जोड़ें.

$12 x^{11}$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = 1 + x^{12}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 1 + 0^{12}$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = 1 + 0$

चरण 1.3.2

$1$ और $0$ जोड़ें.

$u_{lower} = 1$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = 1 + x^{12}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 1 + 1^{12}$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$u_{upper} = 1 + 1$

चरण 1.5.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$u_{upper} = 2$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{1}^{2} u^{11} \frac{1}{12} d u$

चरण 2

$u^{11}$ और $\frac{1}{12}$ को मिलाएं.

$\int_{1}^{2} \frac{u^{11}}{12} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{12}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{12}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{12} \int_{1}^{2} u^{11} d u$

चरण 4

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{11}$ का समाकलन $\frac{1}{12} u^{12}$ है.

$\frac{1}{12} \frac{1}{12} u^{12}]_{1}^{2}$

चरण 5

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$2$ पर और $1$ पर $\frac{1}{12} u^{12}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{12} ((\frac{1}{12} \cdot 2^{12}) - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

चरण 5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$2$ को $12$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{12} (\frac{1}{12} \cdot 4096 - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

चरण 5.2.2

$\frac{1}{12}$ और $4096$ को मिलाएं.

$\frac{1}{12} (\frac{4096}{12} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

चरण 5.2.3

$4096$ और $12$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

$4096$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{12} (\frac{4 (1024)}{12} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

चरण 5.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.2.1

$12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 1024}{4 \cdot 3} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

चरण 5.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 1024}{4 \cdot 3} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

चरण 5.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

चरण 5.2.4

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} - \frac{1}{12} \cdot 1)$

चरण 5.2.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} - \frac{1}{12})$

चरण 5.2.6

$\frac{1024}{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{12})$

चरण 5.2.7

प्रत्येक व्यंजक को $12$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.7.1

$\frac{1024}{3}$ को $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{12} (\frac{1024 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{1}{12})$

चरण 5.2.7.2

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{1}{12} (\frac{1024 \cdot 4}{12} - \frac{1}{12})$

चरण 5.2.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{1024 \cdot 4 - 1}{12}$

चरण 5.2.9

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.9.1

$1024$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{4096 - 1}{12}$

चरण 5.2.9.2

$4096$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{4095}{12}$

चरण 5.2.10

$4095$ और $12$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.10.1

$4095$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 (1365)}{12}$

चरण 5.2.10.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.10.2.1

$12$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot 1365}{3 \cdot 4}$

चरण 5.2.10.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot 1365}{3 \cdot 4}$

चरण 5.2.10.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{1365}{4}$

चरण 5.2.11

$\frac{1}{12}$ को $\frac{1365}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{1365}{12 \cdot 4}$

चरण 5.2.12

$12$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{1365}{48}$

चरण 5.2.13

$1365$ और $48$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.13.1

$1365$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (455)}{48}$

चरण 5.2.13.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.13.2.1

$48$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 \cdot 455}{3 \cdot 16}$

चरण 5.2.13.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 \cdot 455}{3 \cdot 16}$

चरण 5.2.13.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{455}{16}$

चरण 6

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{455}{16}$

दशमलव रूप:

$28.4375$

मिश्रित संख्या रूप:

$28 \frac{7}{16}$

चरण 7