कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{5} x \sqrt{25 - x^{2}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 25 - x^{2}$ .फिर $d u = - 2 x d x$ , तो $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = 25 - x^{2}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$25 - x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $25 - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 1.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $25$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $25$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 - (2 x)$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 - 2 x$

चरण 1.1.4

$0$ में से $2 x$ घटाएं.

$- 2 x$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = 25 - x^{2}$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 25 - 0^{2}$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = 25 - 0$

चरण 1.3.1.2

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 25 + 0$

चरण 1.3.2

$25$ और $0$ जोड़ें.

$u_{lower} = 25$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = 25 - x^{2}$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 25 - 5^{2}$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

$5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$u_{upper} = 25 - 1 \cdot 25$

चरण 1.5.1.2

$- 1$ को $25$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 25 - 25$

चरण 1.5.2

$25$ में से $25$ घटाएं.

$u_{upper} = 0$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 25$

$u_{upper} = 0$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{25}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int_{25}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

चरण 2.2

$\sqrt{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\int_{25}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

चरण 3

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int_{25}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$- (\frac{1}{2} \int_{25}^{0} \sqrt{u} d u)$

चरण 5

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$- \frac{1}{2} \int_{25}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

चरण 6

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ है.

$- \frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{25}^{0}$

चरण 7

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$0$ पर और $25$ पर $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$- \frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

चरण 7.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

चरण 7.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

चरण 7.2.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

चरण 7.2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

चरण 7.2.4

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

चरण 7.2.5

$\frac{2}{3}$ को $0$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

चरण 7.2.6

$25$ को $5^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}})$

चरण 7.2.7

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})})$

चरण 7.2.8

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.8.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})})$

चरण 7.2.8.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 5^{3})$

चरण 7.2.9

$5$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 125)$

चरण 7.2.10

$125$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2} (0 - 125 (\frac{2}{3}))$

चरण 7.2.11

$- 125$ और $\frac{2}{3}$ को मिलाएं.

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{- 125 \cdot 2}{3})$

चरण 7.2.12

$- 125$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{- 250}{3})$

चरण 7.2.13

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{250}{3})$

चरण 7.2.14

$0$ में से $\frac{250}{3}$ घटाएं.

$- \frac{1}{2} (- \frac{250}{3})$

चरण 7.2.15

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 (\frac{1}{2}) \frac{250}{3}$

चरण 7.2.16

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{250}{3}$

चरण 7.2.17

$\frac{1}{2}$ को $\frac{250}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{250}{2 \cdot 3}$

चरण 7.2.18

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{250}{6}$

चरण 7.2.19

$250$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.19.1

$250$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (125)}{6}$

चरण 7.2.19.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.19.2.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 125}{2 \cdot 3}$

चरण 7.2.19.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 125}{2 \cdot 3}$

चरण 7.2.19.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{125}{3}$

चरण 8

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{125}{3}$

दशमलव रूप:

$41.\overline{6}$

मिश्रित संख्या रूप:

$41 \frac{2}{3}$

चरण 9