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कैलकुलस उदाहरण
चरण 1
चरण 1.1
भिन्न को विघटित करें और सामान्य भाजक से गुणा करें.
चरण 1.1.1
भिन्न का गुणनखंड करें.
चरण 1.1.1.1
को के रूप में फिर से लिखें.
चरण 1.1.1.2
मान लीजिए . की सभी घटनाओं के लिए को प्रतिस्थापित करें.
चरण 1.1.1.3
AC विधि का उपयोग करके का गुणनखंड करें.
चरण 1.1.1.3.1
के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल है और जिसका योग है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल है और जिसका योग है.
चरण 1.1.1.3.2
इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.
चरण 1.1.1.4
की सभी घटनाओं को से बदलें.
चरण 1.1.1.5
को के रूप में फिर से लिखें.
चरण 1.1.1.6
चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां और .
चरण 1.1.2
भाजक में प्रत्येक कारक के लिए, भिन्न के रूप में कारक का उपयोग करके और न्यूमेरेटर के रूप में एक अज्ञात मान का उपयोग करके एक नया न्यूमेरेटर बनाएंं. चूँकि भाजक में गुणनखंड रैखिक है, इसलिए उसके स्थान पर एक ही चर डालें .
चरण 1.1.3
भाजक में प्रत्येक कारक के लिए, भिन्न के रूप में कारक का उपयोग करके और न्यूमेरेटर के रूप में एक अज्ञात मान का उपयोग करके एक नया न्यूमेरेटर बनाएंं. चूँकि भाजक में गुणनखंड रैखिक है, इसलिए उसके स्थान पर एक ही चर डालें .
चरण 1.1.4
भाजक में प्रत्येक कारक के लिए, भिन्न के रूप में कारक का उपयोग करके और न्यूमेरेटर के रूप में एक अज्ञात मान का उपयोग करके एक नया न्यूमेरेटर बनाएंं. चूँकि गुणनखंड दूसरा क्रम है, न्यूमेरेटर में पद आवश्यक हैं. न्यूमेरेटर में आवश्यक पदों की संख्या हमेशा भाजक के गुणनखंड के क्रम के बराबर होती है.
चरण 1.1.5
मूल व्यंजक के भाजक से समीकरण में प्रत्येक भिन्न को गुणा करें. इस स्थिति में, भाजक होगा.
चरण 1.1.6
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 1.1.6.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 1.1.6.2
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 1.1.7
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 1.1.7.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 1.1.7.2
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 1.1.8
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 1.1.8.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 1.1.8.2
को से विभाजित करें.
चरण 1.1.9
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.1.9.1
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 1.1.9.1.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 1.1.9.1.2
को से विभाजित करें.
चरण 1.1.9.2
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 1.1.9.3
को के बाईं ओर ले जाएं.
चरण 1.1.9.4
FOIL विधि का उपयोग करके का प्रसार करें.
चरण 1.1.9.4.1
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 1.1.9.4.2
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 1.1.9.4.3
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 1.1.9.5
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.1.9.5.1
घातांक जोड़कर को से गुणा करें.
चरण 1.1.9.5.1.1
ले जाएं.
चरण 1.1.9.5.1.2
को से गुणा करें.
चरण 1.1.9.5.1.2.1
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 1.1.9.5.1.2.2
घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम का उपयोग करें.
चरण 1.1.9.5.1.3
और जोड़ें.
चरण 1.1.9.5.2
को के बाईं ओर ले जाएं.
चरण 1.1.9.5.3
को से गुणा करें.
चरण 1.1.9.6
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 1.1.9.6.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 1.1.9.6.2
को से विभाजित करें.
चरण 1.1.9.7
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 1.1.9.8
को के बाईं ओर ले जाएं.
चरण 1.1.9.9
FOIL विधि का उपयोग करके का प्रसार करें.
चरण 1.1.9.9.1
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 1.1.9.9.2
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 1.1.9.9.3
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 1.1.9.10
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.1.9.10.1
घातांक जोड़कर को से गुणा करें.
चरण 1.1.9.10.1.1
ले जाएं.
चरण 1.1.9.10.1.2
को से गुणा करें.
चरण 1.1.9.10.1.2.1
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 1.1.9.10.1.2.2
घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम का उपयोग करें.
चरण 1.1.9.10.1.3
और जोड़ें.
चरण 1.1.9.10.2
को के बाईं ओर ले जाएं.
चरण 1.1.9.10.3
को से गुणा करें.
चरण 1.1.9.11
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 1.1.9.11.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 1.1.9.11.2
को से विभाजित करें.
चरण 1.1.9.12
FOIL विधि का उपयोग करके का प्रसार करें.
चरण 1.1.9.12.1
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 1.1.9.12.2
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 1.1.9.12.3
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 1.1.9.13
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.1.9.13.1
घातांक जोड़कर को से गुणा करें.
चरण 1.1.9.13.1.1
ले जाएं.
चरण 1.1.9.13.1.2
को से गुणा करें.
चरण 1.1.9.13.2
को के बाईं ओर ले जाएं.
चरण 1.1.9.13.3
को के बाईं ओर ले जाएं.
चरण 1.1.9.14
प्रथम व्यंजक के प्रत्येक पद को द्वितीय व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करके का प्रसार करें.
चरण 1.1.9.15
में विपरीत पदों को मिलाएं.
चरण 1.1.9.15.1
गुणनखंडों को और पदों में पुन: व्यवस्थित करें.
चरण 1.1.9.15.2
और जोड़ें.
चरण 1.1.9.15.3
और जोड़ें.
चरण 1.1.9.16
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.1.9.16.1
घातांक जोड़कर को से गुणा करें.
चरण 1.1.9.16.1.1
ले जाएं.
चरण 1.1.9.16.1.2
को से गुणा करें.
चरण 1.1.9.16.1.2.1
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 1.1.9.16.1.2.2
घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम का उपयोग करें.
चरण 1.1.9.16.1.3
और जोड़ें.
चरण 1.1.9.16.2
को के बाईं ओर ले जाएं.
चरण 1.1.9.16.3
घातांक जोड़कर को से गुणा करें.
चरण 1.1.9.16.3.1
ले जाएं.
चरण 1.1.9.16.3.2
को से गुणा करें.
चरण 1.1.9.16.4
को से गुणा करें.
चरण 1.1.9.16.5
घातांक जोड़कर को से गुणा करें.
चरण 1.1.9.16.5.1
ले जाएं.
चरण 1.1.9.16.5.2
को से गुणा करें.
चरण 1.1.9.16.6
को से गुणा करें.
चरण 1.1.9.17
में विपरीत पदों को मिलाएं.
चरण 1.1.9.17.1
और जोड़ें.
चरण 1.1.9.17.2
और जोड़ें.
चरण 1.1.10
व्यंजक को सरल बनाएंं.
चरण 1.1.10.1
ले जाएं.
चरण 1.1.10.2
ले जाएं.
चरण 1.1.10.3
और को पुन: क्रमित करें.
चरण 1.1.10.4
ले जाएं.
चरण 1.1.10.5
ले जाएं.
चरण 1.1.10.6
ले जाएं.
चरण 1.1.10.7
ले जाएं.
चरण 1.1.10.8
ले जाएं.
चरण 1.1.10.9
ले जाएं.
चरण 1.1.10.10
ले जाएं.
चरण 1.1.10.11
ले जाएं.
चरण 1.1.10.12
ले जाएं.
चरण 1.2
आंशिक भिन्न चर के लिए समीकरण बनाएंं और समीकरणों की प्रणाली स्थापित करने के लिए उनका उपयोग करें.
चरण 1.2.1
समीकरण के दोनों ओर के के पक्ष को समान करके आंशिक भिन्न चरों के लिए एक समीकरण बनाएंँ. समीकरण को समान बनाने के लिए समीकरण के दोनों ओर के तुल्यांकी पक्ष को समान होना होगा.
चरण 1.2.2
समीकरण के दोनों ओर के के पक्ष को समान करके आंशिक भिन्न चरों के लिए एक समीकरण बनाएंँ. समीकरण को समान बनाने के लिए समीकरण के दोनों ओर के तुल्यांकी पक्ष को समान होना होगा.
चरण 1.2.3
समीकरण के दोनों ओर के के पक्ष को समान करके आंशिक भिन्न चरों के लिए एक समीकरण बनाएंँ. समीकरण को समान बनाने के लिए समीकरण के दोनों ओर के तुल्यांकी पक्ष को समान होना होगा.
चरण 1.2.4
उन पदों, जिनमें न हो, के गुणांकों को समान करके आंशिक भिन्न चरों के लिए एक समीकरण बनाएंँ. समीकरण को समान बनाने के लिए समीकरण के दोनों ओर के तुल्यांकी पक्ष को समान होना चाहिए.
चरण 1.2.5
आंशिक भिन्नों के गुणांक ज्ञात करने के लिए समीकरणों की प्रणाली सेट करें.
चरण 1.3
समीकरणों की प्रणाली को हल करें.
चरण 1.3.1
के लिए में हल करें.
चरण 1.3.1.1
समीकरण को के रूप में फिर से लिखें.
चरण 1.3.1.2
वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.
चरण 1.3.1.2.1
समीकरण के दोनों पक्षों से घटाएं.
चरण 1.3.1.2.2
समीकरण के दोनों पक्षों से घटाएं.
चरण 1.3.2
प्रत्येक समीकरण में की सभी घटनाओं को से बदलें.
चरण 1.3.2.1
की सभी घटनाओं को में से बदलें.
चरण 1.3.2.2
दाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 1.3.2.2.1
को सरल करें.
चरण 1.3.2.2.1.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.3.2.2.1.1.1
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 1.3.2.2.1.1.2
को से गुणा करें.
चरण 1.3.2.2.1.1.3
को से गुणा करें.
चरण 1.3.2.2.1.2
और जोड़ें.
चरण 1.3.2.3
की सभी घटनाओं को में से बदलें.
चरण 1.3.2.4
दाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 1.3.2.4.1
को सरल करें.
चरण 1.3.2.4.1.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.3.2.4.1.1.1
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 1.3.2.4.1.1.2
को से गुणा करें.
चरण 1.3.2.4.1.1.3
को से गुणा करें.
चरण 1.3.2.4.1.2
पदों को जोड़कर सरल करें.
चरण 1.3.2.4.1.2.1
में विपरीत पदों को मिलाएं.
चरण 1.3.2.4.1.2.1.1
और जोड़ें.
चरण 1.3.2.4.1.2.1.2
और जोड़ें.
चरण 1.3.2.4.1.2.2
में से घटाएं.
चरण 1.3.2.5
की सभी घटनाओं को में से बदलें.
चरण 1.3.2.6
दाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 1.3.2.6.1
को सरल करें.
चरण 1.3.2.6.1.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.3.2.6.1.1.1
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 1.3.2.6.1.1.2
को से गुणा करें.
चरण 1.3.2.6.1.1.3
को से गुणा करें.
चरण 1.3.2.6.1.2
और जोड़ें.
चरण 1.3.3
के लिए में हल करें.
चरण 1.3.3.1
समीकरण को के रूप में फिर से लिखें.
चरण 1.3.3.2
के प्रत्येक पद को से भाग दें और सरल करें.
चरण 1.3.3.2.1
के प्रत्येक पद को से विभाजित करें.
चरण 1.3.3.2.2
बाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 1.3.3.2.2.1
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 1.3.3.2.2.1.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 1.3.3.2.2.1.2
को से विभाजित करें.
चरण 1.3.3.2.3
दाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 1.3.3.2.3.1
को से विभाजित करें.
चरण 1.3.4
प्रत्येक समीकरण में की सभी घटनाओं को से बदलें.
चरण 1.3.4.1
की सभी घटनाओं को में से बदलें.
चरण 1.3.4.2
दाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 1.3.4.2.1
को सरल करें.
चरण 1.3.4.2.1.1
को से गुणा करें.
चरण 1.3.4.2.1.2
और जोड़ें.
चरण 1.3.4.3
की सभी घटनाओं को में से बदलें.
चरण 1.3.4.4
दाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 1.3.4.4.1
को सरल करें.
चरण 1.3.4.4.1.1
को से गुणा करें.
चरण 1.3.4.4.1.2
और जोड़ें.
चरण 1.3.4.5
की सभी घटनाओं को में से बदलें.
चरण 1.3.4.6
दाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 1.3.4.6.1
में से घटाएं.
चरण 1.3.5
के लिए में हल करें.
चरण 1.3.5.1
समीकरण को के रूप में फिर से लिखें.
चरण 1.3.5.2
समीकरण के दोनों पक्षों से घटाएं.
चरण 1.3.6
प्रत्येक समीकरण में की सभी घटनाओं को से बदलें.
चरण 1.3.6.1
की सभी घटनाओं को में से बदलें.
चरण 1.3.6.2
दाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 1.3.6.2.1
को सरल करें.
चरण 1.3.6.2.1.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.3.6.2.1.1.1
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 1.3.6.2.1.1.2
को से गुणा करें.
चरण 1.3.6.2.1.1.3
को से गुणा करें.
चरण 1.3.6.2.1.2
और जोड़ें.
चरण 1.3.7
के लिए में हल करें.
चरण 1.3.7.1
समीकरण को के रूप में फिर से लिखें.
चरण 1.3.7.2
समीकरण के दोनों पक्षों में जोड़ें.
चरण 1.3.7.3
के प्रत्येक पद को से भाग दें और सरल करें.
चरण 1.3.7.3.1
के प्रत्येक पद को से विभाजित करें.
चरण 1.3.7.3.2
बाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 1.3.7.3.2.1
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 1.3.7.3.2.1.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 1.3.7.3.2.1.2
को से विभाजित करें.
चरण 1.3.7.3.3
दाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 1.3.7.3.3.1
और के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.
चरण 1.3.7.3.3.1.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 1.3.7.3.3.1.2
उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.
चरण 1.3.7.3.3.1.2.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 1.3.7.3.3.1.2.2
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 1.3.7.3.3.1.2.3
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 1.3.8
प्रत्येक समीकरण में की सभी घटनाओं को से बदलें.
चरण 1.3.8.1
की सभी घटनाओं को में से बदलें.
चरण 1.3.8.2
दाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 1.3.8.2.1
को सरल करें.
चरण 1.3.8.2.1.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 1.3.8.2.1.1.1
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 1.3.8.2.1.1.1.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 1.3.8.2.1.1.1.2
में से का गुणनखंड करें.
चरण 1.3.8.2.1.1.1.3
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 1.3.8.2.1.1.1.4
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 1.3.8.2.1.1.2
और को मिलाएं.
चरण 1.3.8.2.1.1.3
भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.
चरण 1.3.8.2.1.2
व्यंजक को सरल बनाएंं.
चरण 1.3.8.2.1.2.1
एक सामान्य भाजक के साथ को भिन्न के रूप में लिखें.
चरण 1.3.8.2.1.2.2
सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.
चरण 1.3.8.2.1.2.3
में से घटाएं.
चरण 1.3.8.3
की सभी घटनाओं को में से बदलें.
चरण 1.3.8.4
दाईं ओर को सरल बनाएंं.
चरण 1.3.8.4.1
को से गुणा करें.
चरण 1.3.9
सभी हलों की सूची बनाएंं.
चरण 1.4
में प्रत्येक आंशिक भिन्न गुणांक को , , और के लिए पाए गए मानों से बदलें.
चरण 1.5
सरल करें.
चरण 1.5.1
Multiply the numerator and denominator of the fraction by .
चरण 1.5.1.1
को से गुणा करें.
चरण 1.5.1.2
जोड़ना.
चरण 1.5.2
वितरण गुणधर्म लागू करें.
चरण 1.5.3
का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 1.5.3.1
उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.
चरण 1.5.3.2
व्यंजक को फिर से लिखें.
चरण 1.5.4
न्यूमेरेटर को सरल करें.
चरण 1.5.4.1
को से गुणा करें.
चरण 1.5.4.2
को से गुणा करें.
चरण 1.5.4.3
और जोड़ें.
चरण 1.5.5
में से का गुणनखंड करें.
चरण 1.5.5.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 1.5.5.2
में से का गुणनखंड करें.
चरण 1.5.5.3
में से का गुणनखंड करें.
चरण 1.5.6
भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.
चरण 1.5.7
को से गुणा करें.
चरण 1.5.8
को के बाईं ओर ले जाएं.
चरण 1.5.9
भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.
चरण 1.5.10
को से गुणा करें.
चरण 2
एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.
चरण 3
चूँकि बटे अचर है, को समाकलन से हटा दें.
चरण 4
चूँकि बटे अचर है, को समाकलन से हटा दें.
चरण 5
चरण 5.1
मान लें . ज्ञात करें.
चरण 5.1.1
को अवकलित करें.
चरण 5.1.2
योग नियम के अनुसार, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 5.1.3
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 5.1.4
चूंकि के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 5.1.5
और जोड़ें.
चरण 5.2
और का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.
चरण 6
के संबंध में का इंटीग्रल है.
चरण 7
चूँकि बटे अचर है, को समाकलन से हटा दें.
चरण 8
चरण 8.1
मान लें . ज्ञात करें.
चरण 8.1.1
को अवकलित करें.
चरण 8.1.2
योग नियम के अनुसार, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 8.1.3
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 8.1.4
चूंकि के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 8.1.5
और जोड़ें.
चरण 8.2
और का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.
चरण 9
के संबंध में का इंटीग्रल है.
चरण 10
चूँकि बटे अचर है, को समाकलन से हटा दें.
चरण 11
और को पुन: क्रमित करें.
चरण 12
को के रूप में फिर से लिखें.
चरण 13
के संबंध में का इंटीग्रल है.
चरण 14
चरण 14.1
और को मिलाएं.
चरण 14.2
सरल करें.
चरण 14.3
को से गुणा करें.
चरण 15
चरण 15.1
की सभी घटनाओं को से बदलें.
चरण 15.2
की सभी घटनाओं को से बदलें.