कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

चरण 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = x^{2} + 1$ है.

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.2

$x^{2} + 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.6.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.2.6.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.4

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.6

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.1.7

$x^{2}$ में से $2 x^{2}$ घटाएं.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 1.1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

चरण 1.1.2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.2.1

घातांक को ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.2.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

चरण 1.1.2.2.1.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.2.3

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.2.4

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.2.5

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.2.6

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.2.7

$- 2 x$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = x^{2} + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} + 1$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 1$ से बदलें.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.4.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.4.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.4.3

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.4.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.4.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.4.5.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.4.5.2

$2$ को $x^{2} + 1$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) (2 \cdot ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.4.5.3

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.3.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.2

${(x^{2} + 1)}^{2}$ को $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.3

FOIL विधि का उपयोग करके $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.3.1.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.4

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.3.1.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.3.1.4.1.1

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.3.1.4.1.1.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.4.1.1.2

$2$ और $2$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.4.1.2

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.4.1.3

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.4.1.4

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.4.2

$x^{2}$ और $x^{2}$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.3.1.6.1

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.6.2

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.7

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.3.1.8.1

घातांक जोड़कर $x^{4}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.3.1.8.1.1

$x$ ले जाएं.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.8.1.2

$x$ को $x^{4}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.3.1.8.1.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.8.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.8.1.3

$1$ और $4$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.8.2

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.3.1.8.2.1

$x$ ले जाएं.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.8.2.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.3.1.8.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.8.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{1 + 2} - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.8.2.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.9

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.3.1.9.1

$- 1$ को $- 4$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.9.2

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.10

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.3.1.10.1

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.3.1.10.1.1

$x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.3.1.10.1.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.10.1.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2 + 1} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.10.1.2

$2$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{3} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.10.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.11

FOIL विधि का उपयोग करके $(4 x^{2} - 4) (x^{3} + x)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.3.1.11.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} (x^{3} + x) - 4 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.11.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} x - 4 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.11.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.12

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.3.1.12.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.3.1.12.1.1

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.3.1.12.1.1.1

$x^{3}$ ले जाएं.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.12.1.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.12.1.1.3

$3$ और $2$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.12.1.2

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.3.1.12.1.2.1

$x$ ले जाएं.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.12.1.2.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.3.1.12.1.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.12.1.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{1 + 2} - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.12.1.2.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{3} - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.12.2

$4 x^{3}$ में से $4 x^{3}$ घटाएं.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 0 - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.1.12.3

$4 x^{5}$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.2

$- 2 x^{5}$ और $4 x^{5}$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.3.3

$- 2 x$ में से $4 x$ घटाएं.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.4.1

$2 x^{5} - 4 x^{3} - 6 x$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.4.1.1

$2 x^{5}$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 4 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.4.1.2

$- 4 x^{3}$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.4.1.3

$- 6 x$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) + 2 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.4.1.4

$2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2})$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.4.1.5

$2 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (- 3)$ में से $2 x$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.4.2

$x^{4}$ को ${(x^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.4.3

मान लीजिए $u = x^{2}$ . $x^{2}$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} - 2 u - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.4.4

AC विधि का उपयोग करके $u^{2} - 2 u - 3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.4.4.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 3$ है और जिसका योग $- 2$ है.

$- 3, 1$

चरण 1.1.2.5.4.4.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 3) (u + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.4.5

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.5

$x^{2} + 1$ और ${(x^{2} + 1)}^{4}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.5.1

$2 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ में से $x^{2} + 1$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

चरण 1.1.2.5.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.5.2.1

${(x^{2} + 1)}^{4}$ में से $x^{2} + 1$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 1.1.2.5.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 1.1.2.5.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 1.1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ है.

$\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 1.2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

चरण 1.2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$2 x (x^{2} - 3) = 0$

चरण 1.2.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

चरण 1.2.3.2

$x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 1.2.3.3

$x^{2} - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.3.1

$x^{2} - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} - 3 = 0$

चरण 1.2.3.3.2

$x$ के लिए $x^{2} - 3 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$x^{2} = 3$

चरण 1.2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

चरण 1.2.3.3.2.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.3.2.3.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = \sqrt{3}$

चरण 1.2.3.3.2.3.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - \sqrt{3}$

चरण 1.2.3.3.2.3.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

चरण 1.2.3.4

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $2 x (x^{2} - 3) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

चरण 2

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{x}{x^{2} + 1}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$x^{2} + 1 = 0$

चरण 2.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x^{2} = - 1$

चरण 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

चरण 2.2.3

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i$

चरण 2.2.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = i$

चरण 2.2.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - i$

चरण 2.2.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = i, - i$

चरण 2.3

डोमेन सभी वास्तविक संख्याएं हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 3

$x$ -मानों के आसपास अंतराल करें जहां दूसरा व्युत्पन्न शून्य या अपरिभाषित हो.

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

चरण 4

अंतराल $(- \infty, - \sqrt{3})$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 4$ से बदलें.

$f'' (- 4) = \frac{2 (- 4) ({(- 4)}^{2} - 3)}{{({(- 4)}^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$2$ को $- 4$ से गुणा करें.

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} - 3)}{{({(- 4)}^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 4.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$- 4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} - 3)}{{(16 + 1)}^{3}}$

चरण 4.2.2.2

$16$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} - 3)}{17^{3}}$

चरण 4.2.2.3

$17$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} - 3)}{4913}$

चरण 4.2.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1

$- 4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 4) = \frac{- 8 (16 - 3)}{4913}$

चरण 4.2.3.2

$16$ में से $3$ घटाएं.

$f'' (- 4) = \frac{- 8 \cdot 13}{4913}$

चरण 4.2.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.4.1

$- 8$ को $13$ से गुणा करें.

$f'' (- 4) = \frac{- 104}{4913}$

चरण 4.2.4.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (- 4) = - \frac{104}{4913}$

चरण 4.2.5

अंतिम उत्तर $- \frac{104}{4913}$ है.

$- \frac{104}{4913}$

चरण 4.3

अंतराल $(- \infty, - \sqrt{3})$ पर ग्राफ अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (- 4)$ ऋणात्मक है.

$(- \infty, - \sqrt{3})$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

चरण 5

अंतराल $(- \sqrt{3}, 0)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 1$ से बदलें.

$f'' (- 1) = \frac{2 (- 1) ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 5.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{(1 + 1)}^{3}}$

चरण 5.2.2.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{2^{3}}$

चरण 5.2.2.3

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{8}$

चरण 5.2.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 1) = \frac{- 2 (1 - 3)}{8}$

चरण 5.2.3.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$f'' (- 1) = \frac{- 2 \cdot - 2}{8}$

चरण 5.2.4

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1

$- 2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f'' (- 1) = \frac{4}{8}$

चरण 5.2.4.2

$4$ और $8$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.2.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f'' (- 1) = \frac{4 (1)}{8}$

चरण 5.2.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.2.2.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f'' (- 1) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

चरण 5.2.4.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (- 1) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

चरण 5.2.4.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (- 1) = \frac{1}{2}$

चरण 5.2.5

अंतिम उत्तर $\frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2}$

चरण 5.3

अंतराल $(- \sqrt{3}, 0)$ पर ग्राफ अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (- 1)$ धनात्मक है.

$(- \sqrt{3}, 0)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 6

अंतराल $(0, \sqrt{3})$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f'' (1) = \frac{2 (1) ({(1)}^{2} - 3)}{{({(1)}^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 3)}{{(1^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 6.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 3)}{{(1 + 1)}^{3}}$

चरण 6.2.2.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 3)}{2^{3}}$

चरण 6.2.2.3

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 3)}{8}$

चरण 6.2.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f'' (1) = \frac{2 (1 - 3)}{8}$

चरण 6.2.3.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$f'' (1) = \frac{2 \cdot - 2}{8}$

चरण 6.2.4

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.4.1

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f'' (1) = \frac{- 4}{8}$

चरण 6.2.4.2

$- 4$ और $8$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.4.2.1

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f'' (1) = \frac{4 (- 1)}{8}$

चरण 6.2.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.4.2.2.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f'' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

चरण 6.2.4.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (1) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

चरण 6.2.4.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (1) = \frac{- 1}{2}$

चरण 6.2.4.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (1) = - \frac{1}{2}$

चरण 6.2.5

अंतिम उत्तर $- \frac{1}{2}$ है.

$- \frac{1}{2}$

चरण 6.3

अंतराल $(0, \sqrt{3})$ पर ग्राफ अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (1)$ ऋणात्मक है.

$(0, \sqrt{3})$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

चरण 7

अंतराल $(\sqrt{3}, \infty)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $4$ से बदलें.

$f'' (4) = \frac{2 (4) ({(4)}^{2} - 3)}{{({(4)}^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} - 3)}{{(4^{2} + 1)}^{3}}$

चरण 7.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} - 3)}{{(16 + 1)}^{3}}$

चरण 7.2.2.2

$16$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} - 3)}{17^{3}}$

चरण 7.2.2.3

$17$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} - 3)}{4913}$

चरण 7.2.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (4) = \frac{8 (16 - 3)}{4913}$

चरण 7.2.3.2

$16$ में से $3$ घटाएं.

$f'' (4) = \frac{8 \cdot 13}{4913}$

चरण 7.2.4

$8$ को $13$ से गुणा करें.

$f'' (4) = \frac{104}{4913}$

चरण 7.2.5

अंतिम उत्तर $\frac{104}{4913}$ है.

$\frac{104}{4913}$

चरण 7.3

अंतराल $(\sqrt{3}, \infty)$ पर ग्राफ अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (4)$ धनात्मक है.

$(\sqrt{3}, \infty)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 8

जब दूसरा व्युत्पन्न ऋणात्मक होता है तो ग्राफ अवतल नीचे होता है और दूसरा व्युत्पन्न धनात्मक होने पर अवतल ऊपर होता है.

$(- \infty, - \sqrt{3})$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

$(- \sqrt{3}, 0)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

$(0, \sqrt{3})$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

$(\sqrt{3}, \infty)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 9