कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \sin^{2} (x) + \cos (x)$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\sin^{2} (x) + \cos (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\sin (x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 1.2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 1.2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\sin (x)$ से बदलें.

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 1.2.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 1.3

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$2 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)$

चरण 1.4.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$2 \cos (x)$ और $\sin (x)$ को पुन: क्रमित करें.

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x)$

चरण 1.4.2.2

$\sin (x)$ और $2$ को पुन: क्रमित करें.

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

चरण 1.4.2.3

ज्या दोहरा कोण सर्वसमिका लागू करें.

$\sin (2 x) - \sin (x)$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\sin (2 x) - \sin (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

चरण 2.2.1.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

चरण 2.2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

चरण 2.2.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

चरण 2.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

चरण 2.2.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

चरण 2.2.5

$2$ को $\cos (2 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \sin (x)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ है.

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

चरण 2.3.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - \cos (x)$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$\sin (2 x) - \sin (x) = 0$

चरण 4

ज्या दोहरा कोण सर्वसमिका लागू करें.

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) = 0$

चरण 5

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$ में से $\sin (x)$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$2 \sin (x) \cos (x)$ में से $\sin (x)$ का गुणनखंड करें.

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x) = 0$

चरण 5.2

$- \sin (x)$ में से $\sin (x)$ का गुणनखंड करें.

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

चरण 5.3

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ में से $\sin (x)$ का गुणनखंड करें.

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

चरण 6

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

चरण 7

$\sin (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\sin (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$\sin (x) = 0$

चरण 7.2

$x$ के लिए $\sin (x) = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

ज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.

$x = \arcsin (0)$

चरण 7.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$\arcsin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$x = 0$

चरण 7.2.3

पहले और दूसरे चतुर्थांश में ज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, दूसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$x = π - 0$

चरण 7.2.4

$π$ में से $0$ घटाएं.

$x = π$

चरण 7.2.5

समीकरण का हल $x = 0$ .

$x = 0, π$

चरण 8

$2 \cos (x) - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$2 \cos (x) - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 \cos (x) - 1 = 0$

चरण 8.2

$x$ के लिए $2 \cos (x) - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$2 \cos (x) = 1$

चरण 8.2.2

$2 \cos (x) = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$2 \cos (x) = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 8.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 8.2.2.2.1.2

$\cos (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

चरण 8.2.3

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

चरण 8.2.4

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.4.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ का सटीक मान $\frac{π}{3}$ है.

$x = \frac{π}{3}$

चरण 8.2.5

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

चरण 8.2.6

$2 π - \frac{π}{3}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.6.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

चरण 8.2.6.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.6.2.1

$2 π$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

चरण 8.2.6.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

चरण 8.2.6.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.6.3.1

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 π - π}{3}$

चरण 8.2.6.3.2

$6 π$ में से $π$ घटाएं.

$x = \frac{5 π}{3}$

चरण 8.2.7

समीकरण का हल $x = \frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

चरण 9

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, π, \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

चरण 10

$x = 0$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$2 \cos (2 (0)) - \cos (0)$

चरण 11

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.1

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$2 \cos (0) - \cos (0)$

चरण 11.1.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$2 \cdot 1 - \cos (0)$

चरण 11.1.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 - \cos (0)$

चरण 11.1.4

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$2 - 1 \cdot 1$

चरण 11.1.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$2 - 1$

चरण 11.2

$2$ में से $1$ घटाएं.

$1$

चरण 12

$x = 0$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = 0$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 13

$x = 0$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f (0) = \sin^{2} (0) + \cos (0)$

चरण 13.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1.1

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$f (0) = 0^{2} + \cos (0)$

चरण 13.2.1.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f (0) = 0 + \cos (0)$

चरण 13.2.1.3

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$f (0) = 0 + 1$

चरण 13.2.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$f (0) = 1$

चरण 13.2.3

अंतिम उत्तर $1$ है.

$y = 1$

चरण 14

$x = π$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$2 \cos (2 (π)) - \cos (π)$

चरण 15

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.1

$2 π$ का पूरा घुमाव घटाएं जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$2 \cos (0) - \cos (π)$

चरण 15.1.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$2 \cdot 1 - \cos (π)$

चरण 15.1.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 - \cos (π)$

चरण 15.1.4

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$2 - - \cos (0)$

चरण 15.1.5

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$2 - (- 1 \cdot 1)$

चरण 15.1.6

$- (- 1 \cdot 1)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.6.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$2 - - 1$

चरण 15.1.6.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 + 1$

चरण 15.2

$2$ और $1$ जोड़ें.

$3$

चरण 16

$x = π$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = π$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 17

$x = π$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

व्यंजक में चर $x$ को $π$ से बदलें.

$f (π) = \sin^{2} (π) + \cos (π)$

चरण 17.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.1.1

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें.

$f (π) = \sin^{2} (0) + \cos (π)$

चरण 17.2.1.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$f (π) = 0^{2} + \cos (π)$

चरण 17.2.1.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f (π) = 0 + \cos (π)$

चरण 17.2.1.4

$f (π) = 0 - \cos (0)$

चरण 17.2.1.5

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$f (π) = 0 - 1 \cdot 1$

चरण 17.2.1.6

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f (π) = 0 - 1$

चरण 17.2.2

$0$ में से $1$ घटाएं.

$f (π) = - 1$

चरण 17.2.3

अंतिम उत्तर $- 1$ है.

$y = - 1$

चरण 18

$x = \frac{π}{3}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$2 \cos (2 (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{π}{3})$

चरण 19

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.1.1

$2$ और $\frac{π}{3}$ को मिलाएं.

$2 \cos (\frac{2 π}{3}) - \cos (\frac{π}{3})$

चरण 19.1.2

$2 (- \cos (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{π}{3})$

चरण 19.1.3

$\cos (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{1}{2}$ है.

$2 (- \frac{1}{2}) - \cos (\frac{π}{3})$

चरण 19.1.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.1.4.1

$- \frac{1}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{π}{3})$

चरण 19.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{π}{3})$

चरण 19.1.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 1 - \cos (\frac{π}{3})$

चरण 19.1.5

$\cos (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{1}{2}$ है.

$- 1 - \frac{1}{2}$

चरण 19.2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

चरण 19.3

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

चरण 19.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

चरण 19.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.5.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{- 2 - 1}{2}$

चरण 19.5.2

$- 2$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{- 3}{2}$

चरण 19.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{3}{2}$

चरण 20

$x = \frac{π}{3}$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = \frac{π}{3}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 21

$x = \frac{π}{3}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 21.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{π}{3}$ से बदलें.

$f (\frac{π}{3}) = \sin^{2} (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

चरण 21.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 21.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 21.2.1.1

$\sin (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$f (\frac{π}{3}) = {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{π}{3})$

चरण 21.2.1.2

उत्पाद नियम को $\frac{\sqrt{3}}{2}$ पर लागू करें.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

चरण 21.2.1.3

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 21.2.1.3.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

चरण 21.2.1.3.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

चरण 21.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

चरण 21.2.1.3.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 21.2.1.3.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

चरण 21.2.1.3.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

चरण 21.2.1.3.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

चरण 21.2.1.4

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \cos (\frac{π}{3})$

चरण 21.2.1.5

$\cos (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{1}{2}$ है.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

चरण 21.2.2

$\frac{1}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

चरण 21.2.3

प्रत्येक व्यंजक को $4$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 21.2.3.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

चरण 21.2.3.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

चरण 21.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3 + 2}{4}$

चरण 21.2.5

$3$ और $2$ जोड़ें.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{5}{4}$

चरण 21.2.6

अंतिम उत्तर $\frac{5}{4}$ है.

$y = \frac{5}{4}$

चरण 22

$x = \frac{5 π}{3}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$2 \cos (2 (\frac{5 π}{3})) - \cos (\frac{5 π}{3})$

चरण 23

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 23.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 23.1.1

$2 (\frac{5 π}{3})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 23.1.1.1

$2$ और $\frac{5 π}{3}$ को मिलाएं.

$2 \cos (\frac{2 (5 π)}{3}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

चरण 23.1.1.2

$5$ को $2$ से गुणा करें.

$2 \cos (\frac{10 π}{3}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

चरण 23.1.2

$2 π$ का पूरा घुमाव घटाएं जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$2 \cos (\frac{4 π}{3}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

चरण 23.1.3

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि तीसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$2 (- \cos (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{5 π}{3})$

चरण 23.1.4

$\cos (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{1}{2}$ है.

$2 (- \frac{1}{2}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

चरण 23.1.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 23.1.5.1

$- \frac{1}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

चरण 23.1.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

चरण 23.1.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 1 - \cos (\frac{5 π}{3})$

चरण 23.1.6

$- 1 - \cos (\frac{π}{3})$

चरण 23.1.7

$\cos (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{1}{2}$ है.

$- 1 - \frac{1}{2}$

चरण 23.2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

चरण 23.3

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

चरण 23.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

चरण 23.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 23.5.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{- 2 - 1}{2}$

चरण 23.5.2

$- 2$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{- 3}{2}$

चरण 23.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{3}{2}$

चरण 24

$x = \frac{5 π}{3}$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = \frac{5 π}{3}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 25

$x = \frac{5 π}{3}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 25.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{5 π}{3}$ से बदलें.

$f (\frac{5 π}{3}) = \sin^{2} (\frac{5 π}{3}) + \cos (\frac{5 π}{3})$

चरण 25.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 25.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 25.2.1.1

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि चौथे चतुर्थांश में ज्या ऋणात्मक है.

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- \sin (\frac{π}{3}))}^{2} + \cos (\frac{5 π}{3})$

चरण 25.2.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{5 π}{3})$

चरण 25.2.1.3

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 25.2.1.3.1

उत्पाद नियम को $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ पर लागू करें.

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{5 π}{3})$

चरण 25.2.1.3.2

उत्पाद नियम को $\frac{\sqrt{3}}{2}$ पर लागू करें.

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + \cos (\frac{5 π}{3})$

चरण 25.2.1.4

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{5 π}{3}) = 1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + \cos (\frac{5 π}{3})$

चरण 25.2.1.5

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

चरण 25.2.1.6

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 25.2.1.6.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

चरण 25.2.1.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

चरण 25.2.1.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

चरण 25.2.1.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 25.2.1.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

चरण 25.2.1.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

चरण 25.2.1.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

चरण 25.2.1.7

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \cos (\frac{5 π}{3})$

चरण 25.2.1.8

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \cos (\frac{π}{3})$

चरण 25.2.1.9

$\cos (\frac{π}{3})$ का सटीक मान $\frac{1}{2}$ है.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

चरण 25.2.2

$\frac{1}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

चरण 25.2.3

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 25.2.3.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

चरण 25.2.3.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

चरण 25.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3 + 2}{4}$

चरण 25.2.5

$3$ और $2$ जोड़ें.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5}{4}$

चरण 25.2.6

अंतिम उत्तर $\frac{5}{4}$ है.

$y = \frac{5}{4}$

चरण 26

ये $f (x) = \sin^{2} (x) + \cos (x)$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(0, 1)$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

$(π, - 1)$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

$(\frac{5 π}{3}, \frac{5}{4})$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

चरण 27