कैलकुलस उदाहरण

${(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2}$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{x + 1}{x - 1}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{x + 1}{x - 1}$ से बदलें.

$2 \frac{x + 1}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

चरण 2

$2$ और $\frac{x + 1}{x - 1}$ को मिलाएं.

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

चरण 3

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x + 1$ और $g (x) = x - 1$ है.

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.4.2

$x - 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.6

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.7

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.8

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.8.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.8.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

चरण 4.8.3

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1}$ को $\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{2}}$

चरण 5

घातांक जोड़कर $x - 1$ को ${(x - 1)}^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$x - 1$ को ${(x - 1)}^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$x - 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{2}}$

चरण 5.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{1 + 2}}$

चरण 5.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) (x - 1 - x - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 6.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(2 x + 2) (x - 1 - x - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 6.3.2

$x - 1 - x - 1 \cdot 1$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

$x$ में से $x$ घटाएं.

$\frac{(2 x + 2) (0 - 1 - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 6.3.2.2

$0$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{(2 x + 2) (- 1 - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 6.3.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(2 x + 2) (- 1 - 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 6.3.4

$- 1$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{(2 x + 2) \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 6.3.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x \cdot - 2 + 2 \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 6.3.6

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{- 4 x + 2 \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 6.3.7

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{- 4 x - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 6.4

$- 4 x - 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

$- 4 x$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (- x) - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 6.4.2

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (- x) + 4 (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 6.4.3

$4 (- x) + 4 (- 1)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (- x - 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 6.5

$- x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (- (x) - 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 6.6

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{4 (- (x) - 1 (1))}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 6.7

$- (x) - 1 (1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (- (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 6.8

$- (x + 1)$ को $- 1 (x + 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{4 (- 1 (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

चरण 6.9

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{4 (x + 1)}{{(x - 1)}^{3}}$