कैलकुलस उदाहरण

$\frac{r}{\sqrt{r^{2} + 1}}$

चरण 1

$\sqrt{r^{2} + 1}$ को ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d r} [\frac{r}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

चरण 2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ है, जहाँ $f (r) = r$ और $g (r) = {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ है.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 3

घातांक को ${({(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(r^{2} + 1)}^{1}}$

चरण 4

सरल करें.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{r^{2} + 1}$

चरण 5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ $n r^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{r^{2} + 1}$

चरण 5.2

${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{r^{2} + 1}$

चरण 6

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ $f' (g (r)) g' (r)$ है, जहाँ $f (r) = r^{\frac{1}{2}}$ और $g (r) = r^{2} + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $r^{2} + 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

चरण 6.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

चरण 6.3

$u$ की सभी घटनाओं को $r^{2} + 1$ से बदलें.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

चरण 7

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

चरण 8

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

चरण 9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

चरण 10

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

चरण 10.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

चरण 11

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

चरण 11.2

$\frac{1}{2}$ और ${(r^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{{(r^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

चरण 11.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(r^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

चरण 11.4

$\frac{1}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ और $r$ को मिलाएं.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1]}{r^{2} + 1}$

चरण 12

योग नियम के अनुसार, $r$ के संबंध में $r^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [1]$ है.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [1])}{r^{2} + 1}$

चरण 13

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ $n r^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 r + \frac{d}{d r} [1])}{r^{2} + 1}$

चरण 14

चूंकि $r$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $r$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 r + 0)}{r^{2} + 1}$

चरण 15

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$2 r$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 r)}{r^{2} + 1}$

चरण 15.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} r}{r^{2} + 1}$

चरण 15.3

$- 2$ और $\frac{r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} r}{r^{2} + 1}$

चरण 15.4

$\frac{- 2 r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ और $r$ को मिलाएं.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r \cdot r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

चरण 16

$r$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (r^{1} r)}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

चरण 17

$r$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (r^{1} r^{1})}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

चरण 18

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r^{1 + 1}}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

चरण 19

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r^{2}}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

चरण 20

$- 2 r^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- r^{2})}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

चरण 21

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 21.1

$2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- r^{2})}{2 ({(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}}{r^{2} + 1}$

चरण 21.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- r^{2})}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

चरण 21.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

चरण 22

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

चरण 23

${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

चरण 24

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

चरण 25

घातांक जोड़कर ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ को ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 25.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

चरण 25.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

चरण 25.3

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

चरण 25.4

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{1} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

चरण 26

${(r^{2} + 1)}^{1}$ को सरल करें.

$\frac{\frac{r^{2} + 1 - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

चरण 27

$r^{2}$ में से $r^{2}$ घटाएं.

$\frac{\frac{0 + 1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

चरण 28

$0$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

चरण 29

एक गुणनफल के रूप में $\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$ को फिर से लिखें.

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{r^{2} + 1}$

चरण 30

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ को $\frac{1}{r^{2} + 1}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (r^{2} + 1)}$

चरण 31

घातांक जोड़कर ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ को $r^{2} + 1$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 31.1

${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ को $r^{2} + 1$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 31.1.1

$r^{2} + 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 1)}^{1}}$

चरण 31.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

चरण 31.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

चरण 31.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

चरण 31.4

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$