कैलकुलस उदाहरण

$y = {(3 x + 1)}^{x - 3}$

चरण 1

विभेदन को सरल बनाने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

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चरण 1.1

${(3 x + 1)}^{x - 3}$ को $e^{\ln ({(3 x + 1)}^{x - 3})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(3 x + 1)}^{x - 3})}]$

चरण 1.2

$x - 3$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln ({(3 x + 1)}^{x - 3})$ का प्रसार करें.

$\frac{d}{d x} [e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = (x - 3) \ln (3 x + 1)$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $(x - 3) \ln (3 x + 1)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [(x - 3) \ln (3 x + 1)]$

चरण 2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [(x - 3) \ln (3 x + 1)]$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $(x - 3) \ln (3 x + 1)$ से बदलें.

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} \frac{d}{d x} [(x - 3) \ln (3 x + 1)]$

चरण 3

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x - 3$ और $g (x) = \ln (3 x + 1)$ है.

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)] + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

चरण 4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = 3 x + 1$ है.

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चरण 4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $3 x + 1$ के रूप में सेट करें.

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

चरण 4.2

$u_{2}$ के संबंध में $\ln (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{2}}$ है.

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

चरण 4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $3 x + 1$ से बदलें.

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) (\frac{1}{3 x + 1} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

चरण 5

अवकलन करें.

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चरण 5.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{1}{3 x + 1} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

चरण 5.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{1}{3 x + 1} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

चरण 5.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{1}{3 x + 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

चरण 5.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{1}{3 x + 1} (3 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

चरण 5.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{1}{3 x + 1} (3 + 0) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

चरण 5.6

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

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चरण 5.6.1

$3$ और $0$ जोड़ें.

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{1}{3 x + 1} \cdot 3 + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

चरण 5.6.2

$3$ और $\frac{1}{3 x + 1}$ को मिलाएं.

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{3}{3 x + 1} + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

चरण 5.7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ है.

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{3}{3 x + 1} + \ln (3 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

चरण 5.8

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{3}{3 x + 1} + \ln (3 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]))$

चरण 5.9

चूंकि $x$ के संबंध में $- 3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{3}{3 x + 1} + \ln (3 x + 1) (1 + 0))$

चरण 5.10

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 5.10.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{3}{3 x + 1} + \ln (3 x + 1) \cdot 1)$

चरण 5.10.2

$\ln (3 x + 1)$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{3}{3 x + 1} + \ln (3 x + 1))$