कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = a x + b$ और $g (x) = c x + d$ है.

$\frac{(c x + d) \frac{d}{d x} [a x + b] - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

चरण 2

अवकलन करें.

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चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $a x + b$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b]$ है.

$\frac{(c x + d) (\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

चरण 2.2

चूंकि $a$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $a x$ का व्युत्पन्न $a \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{(c x + d) (a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(c x + d) (a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

चरण 2.4

$a$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(c x + d) (a + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

चरण 2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $b$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $b$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(c x + d) (a + 0) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

चरण 2.6

$a$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

चरण 2.7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $c x + d$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$ है.

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

चरण 2.8

चूंकि $c$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $c x$ का व्युत्पन्न $c \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

चरण 2.9

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c \cdot 1 + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

चरण 2.10

$c$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

चरण 2.11

चूंकि $x$ के संबंध में $d$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $d$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c + 0)}{{(c x + d)}^{2}}$

चरण 2.12

$c$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) c}{{(c x + d)}^{2}}$

चरण 3

सरल करें.

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चरण 3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{c x a + d a - (a x + b) c}{{(c x + d)}^{2}}$

चरण 3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{c x a + d a + (- (a x) - b) c}{{(c x + d)}^{2}}$

चरण 3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{c x a + d a - (a x) c - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

चरण 3.4

$c x a + d a - (a x) c - b c$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

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चरण 3.4.1

गुणनखंडों को $c x a$ और $- (a x) c$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$\frac{a c x + d a - a c x - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

चरण 3.4.2

$a c x$ में से $a c x$ घटाएं.

$\frac{d a + 0 - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

चरण 3.4.3

$d a$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d a - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

चरण 3.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{a d - b c}{{(d + c x)}^{2}}$