कैलकुलस उदाहरण

$\int_{1}^{3} x^{2} \ln (x) d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \ln (x)$ और $d v = x^{2}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

चरण 2.2

$\ln (x)$ और $\frac{x^{3}}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x^{3}$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x^{3}}{x} d x)$

चरण 4.2

$x^{3}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$x^{3}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

चरण 4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

चरण 4.2.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

चरण 4.2.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

चरण 4.2.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x^{2}}{1} d x)$

चरण 4.2.2.5

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} x^{2} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - \frac{1}{3} \int_{1}^{3} x^{2} d x$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}$

चरण 6

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$3$ पर और $1$ पर $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{\ln (3) \cdot 3^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}$

चरण 6.2

$3$ पर और $1$ पर $\frac{1}{3} x^{3}$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{\ln (3) \cdot 3^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

चरण 6.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\ln (3) \cdot 27}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

चरण 6.3.2

$27$ को $\ln (3)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{27 \cdot \ln (3)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

चरण 6.3.3

$27$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.1

$27 \ln (3)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (9 \ln (3))}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

चरण 6.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (9 \ln (3))}{3 (1)} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

चरण 6.3.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 (9 \ln (3))}{3 \cdot 1} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

चरण 6.3.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{9 \ln (3)}{1} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

चरण 6.3.3.2.4

$9 \ln (3)$ को $1$ से विभाजित करें.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

चरण 6.3.4

एक का कोई भी घात एक होता है.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

चरण 6.3.5

$\ln (1)$ को $1$ से गुणा करें.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

चरण 6.3.6

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

चरण 6.3.7

$\frac{1}{3}$ और $27$ को मिलाएं.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{27}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

चरण 6.3.8

$27$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.8.1

$27$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

चरण 6.3.8.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.8.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

चरण 6.3.8.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

चरण 6.3.8.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{9}{1} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

चरण 6.3.8.2.4

$9$ को $1$ से विभाजित करें.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (9 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

चरण 6.3.9

एक का कोई भी घात एक होता है.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (9 - \frac{1}{3} \cdot 1)$

चरण 6.3.10

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (9 - \frac{1}{3})$

चरण 6.3.11

$9$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3})$

चरण 6.3.12

$9$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3})$

चरण 6.3.13

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{9 \cdot 3 - 1}{3}$

चरण 6.3.14

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.14.1

$9$ को $3$ से गुणा करें.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{27 - 1}{3}$

चरण 6.3.14.2

$27$ में से $1$ घटाएं.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{26}{3}$

चरण 6.3.15

$\frac{26}{3}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{26}{3 \cdot 3}$

चरण 6.3.16

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{26}{9}$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$9 \ln (3) - \frac{0}{3} - \frac{26}{9}$

चरण 7.1.2

$0$ को $3$ से विभाजित करें.

$9 \ln (3) - 0 - \frac{26}{9}$

चरण 7.1.3

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$9 \ln (3) + 0 - \frac{26}{9}$

चरण 7.2

$9 \ln (3)$ और $0$ जोड़ें.

$9 \ln (3) - \frac{26}{9}$

चरण 8

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$9 \ln (3) - \frac{26}{9}$

दशमलव रूप:

$6.99862170 \dots$