कैलकुलस उदाहरण

$\int \sin^{2} (3 x) d x$

चरण 1

मान लीजिए $u_{1} = 3 x$ .फिर $d u_{1} = 3 d x$ , तो $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u_{1} = 3 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$3 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

चरण 1.1.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 \cdot 1$

चरण 1.1.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3$

चरण 1.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1}$

चरण 2

$\sin^{2} (u_{1})$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{3} d u_{1}$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

चरण 4

$\sin^{2} (u_{1})$ को $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{1}{3} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

चरण 5

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 \cdot 3} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

चरण 6.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{1}{6} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

चरण 7

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{6} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

चरण 8

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{6} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

चरण 9

चूँकि $- 1$ बटे $u_{1}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{6} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

चरण 10

मान लीजिए $u_{2} = 2 u_{1}$ .फिर $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

मान लें $u_{2} = 2 u_{1}$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

$2 u_{1}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

चरण 10.1.2

चूंकि $2$ , $u_{1}$ के संबंध में स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $2 u_{1}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ है.

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

चरण 10.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 10.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 10.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{6} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

चरण 11

$\cos (u_{2})$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{6} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

चरण 12

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{6} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

चरण 13

$u_{2}$ के संबंध में $\cos (u_{2})$ का इंटीग्रल $\sin (u_{2})$ है.

$\frac{1}{6} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

चरण 14

सरल करें.

$\frac{1}{6} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

चरण 15

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$\frac{1}{6} (3 x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

चरण 15.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 u_{1}$ से बदलें.

$\frac{1}{6} (3 x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

चरण 15.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$\frac{1}{6} (3 x - \frac{1}{2} \sin (2 (3 x))) + C$

चरण 16

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1.1

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{6} (3 x - \frac{1}{2} \sin (6 x)) + C$

चरण 16.1.2

$\sin (6 x)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{6} (3 x - \frac{\sin (6 x)}{2}) + C$

चरण 16.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{6} (3 x) + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (6 x)}{2}) + C$

चरण 16.3

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.3.1

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{3 (2)} (3 x) + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (6 x)}{2}) + C$

चरण 16.3.2

$3 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{3 (2)} (3 (x)) + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (6 x)}{2}) + C$

चरण 16.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{3 \cdot 2} (3 x) + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (6 x)}{2}) + C$

चरण 16.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (6 x)}{2}) + C$

चरण 16.4

$\frac{1}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{x}{2} + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (6 x)}{2}) + C$

चरण 16.5

$\frac{1}{6} (- \frac{\sin (6 x)}{2})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.5.1

$\frac{1}{6}$ को $\frac{\sin (6 x)}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (6 x)}{6 \cdot 2} + C$

चरण 16.5.2

$6$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (6 x)}{12} + C$

चरण 17

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{12} \sin (6 x) + C$