कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x} d x$

चरण 1

मान लीजिए $x = 2 \sec (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $2 \sec (t) \tan (t)$ सकारात्मक है.

$\int \frac{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

उत्पाद नियम को $2 \sec (t)$ पर लागू करें.

$\int \frac{\sqrt{2^{2} \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 2.1.1.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 2.1.2

$4 \sec^{2} (t)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 2.1.3

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 2.1.4

$4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 2.1.5

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int \frac{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 2.1.6

$4 \tan^{2} (t)$ को ${(2 \tan (t))}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int \frac{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 2.1.7

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 2.2

$2 \sec (t)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$2 \sec (t) \tan (t)$ में से $2 \sec (t)$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\tan (t))) d t$

चरण 2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

चरण 2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int 2 \tan (t) \tan (t) d t$

चरण 3

$\tan (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int 2 (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

चरण 4

$\tan (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int 2 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

चरण 5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int 2 {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

चरण 6

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\int 2 \tan^{2} (t) d t$

चरण 7

चूँकि $2$ बटे $t$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int \tan^{2} (t) d t$

चरण 8

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\tan^{2} (t)$ को $- 1 + \sec^{2} (t)$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 \int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

चरण 9

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$2 (\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

चरण 10

स्थिरांक नियम लागू करें.

$2 (- t + C + \int \sec^{2} (t) d t)$

चरण 11

चूंकि $\tan (t)$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (t)$ है, $\sec^{2} (t)$ का समाकलन $\tan (t)$ है.

$2 (- t + C + \tan (t) + C)$

चरण 12

सरल करें.

$2 (- t + \tan (t)) + C$

चरण 13

$t$ की सभी घटनाओं को $arcsec (\frac{x}{2})$ से बदलें.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \tan (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

चरण 14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1.1

समतल में एक त्रिभुज बनाएंं जिसमें शीर्ष $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ और मूल बिंदु हों. फिर $arcsec (\frac{x}{2})$ धनात्मक x-अक्ष और किरण के बीच का कोण है जो मूल बिंदु से शुरू होकर $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ से होकर गुजरती है. इसलिए, $\tan (arcsec (\frac{x}{2}))$ $\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}$ है.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}) + C$

चरण 14.1.2

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}) + C$

चरण 14.1.3

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = \frac{x}{2}$ और $b = 1$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

चरण 14.1.4

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

चरण 14.1.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

चरण 14.1.6

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}) + C$

चरण 14.1.7

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}) + C$

चरण 14.1.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}) + C$

चरण 14.1.9

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}) + C$

चरण 14.1.10

$\frac{x + 2}{2}$ को $\frac{x - 2}{2}$ से गुणा करें.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}) + C$

चरण 14.1.11

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}}) + C$

चरण 14.1.12

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ को ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1.12.1

$(x + 2) (x - 2)$ में से पूर्ण घात $1^{2}$ का गुणनखंड करें.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}) + C$

चरण 14.1.12.2

$4$ में से पूर्ण घात $2^{2}$ का गुणनखंड करें.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}) + C$

चरण 14.1.12.3

भिन्न को पुनर्व्यवस्थित करें $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}) + C$

चरण 14.1.13

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}) + C$

चरण 14.1.14

$\frac{1}{2}$ और $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ को मिलाएं.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

चरण 14.2

$- arcsec (\frac{x}{2})$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

चरण 14.3

$- arcsec (\frac{x}{2})$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$2 (\frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

चरण 14.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 \frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + C$

चरण 14.5

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + C$

चरण 14.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$

चरण 14.6

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$

चरण 15

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 2 arcsec (\frac{1}{2} x) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$