कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{1}{1 - \sin (x)} d x$

चरण 1

ज्या दोहरा कोण सर्वसमिका लागू करें.

$\int \frac{1}{1 - (2 (\sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})))} d x$

चरण 2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})} d x$

चरण 3

तर्क को $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})}$ से गुणा करें

$\int \frac{1}{1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

चरण 4

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

जोड़ना.

$\int \frac{1 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{(1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

चरण 4.2

${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{(1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

चरण 5

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 {\sec (\frac{x}{2})}^{2} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) {\sec (\frac{x}{2})}^{2}} d x$

चरण 5.2

${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

चरण 6

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\sec (\frac{x}{2})$ को फिर से लिखें.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{{(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

चरण 6.2

उत्पाद नियम को $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ पर लागू करें.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

चरण 6.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

चरण 6.4

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\sec (\frac{x}{2})$ को फिर से लिखें.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2}} d x$

चरण 6.5

उत्पाद नियम को $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ पर लागू करें.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

चरण 6.6

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

चरण 6.7

$\cos (\frac{x}{2})$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.1

$- 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})$ में से $\cos (\frac{x}{2})$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

चरण 6.7.2

$\cos^{2} (\frac{x}{2})$ में से $\cos (\frac{x}{2})$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})}} d x$

चरण 6.7.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})}} d x$

चरण 6.7.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

चरण 6.8

$\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ और $- 2$ को मिलाएं.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \frac{- 2}{\cos (\frac{x}{2})} \sin (\frac{x}{2})} d x$

चरण 6.9

$\frac{- 2}{\cos (\frac{x}{2})}$ और $\sin (\frac{x}{2})$ को मिलाएं.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \frac{- 2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

चरण 6.10

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - \frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

चरण 7

$\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}$ को $\sec^{2} (\frac{x}{2})$ में बदलें.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - \frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

चरण 8

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$ को $2 \tan (\frac{x}{2})$ में बदलें.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - (2 \tan (\frac{x}{2}))} d x$

चरण 9

$\sec^{2} (x)$ को $1 + \tan^{2} (x)$ में रूपांतरित करें.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 + \tan^{2} (\frac{x}{2}) - (2 \tan (\frac{x}{2}))} d x$

चरण 10

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 + \tan^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \tan (\frac{x}{2})} d x$

चरण 11

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

पदों को पुनर्व्यवस्थित करें.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 - 2 \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

चरण 11.2

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1^{2} - 2 \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

चरण 11.3

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$2 \tan (\frac{x}{2}) = 2 \cdot 1 \cdot \tan (\frac{x}{2})$

चरण 11.4

बहुपद को फिर से लिखें.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

चरण 11.5

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = 1$ और $b = \tan (\frac{x}{2})$ है.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{{(1 - \tan (\frac{x}{2}))}^{2}} d x$

चरण 12

मान लीजिए $u_{1} = \frac{x}{2}$ .फिर $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ , तो $2 d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

मान लें $u_{1} = \frac{x}{2}$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

$\frac{x}{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

चरण 12.1.2

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 12.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

चरण 12.1.4

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2}$

चरण 12.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{1}{2}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} (1 \cdot 2) d u_{1}$

चरण 13.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} \cdot 2 d u_{1}$

चरण 13.3

$\frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}}$ और $2$ को मिलाएं.

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1}) \cdot 2}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

चरण 13.4

$2$ को $\sec^{2} (u_{1})$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{2 \sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

चरण 14

चूँकि $2$ बटे $u_{1}$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

चरण 15

मान लीजिए $u_{2} = 1 - \tan (u_{1})$ .फिर $d u_{2} = - \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ , तो $- \frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

मान लें $u_{2} = 1 - \tan (u_{1})$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.1

$1 - \tan (u_{1})$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [1 - \tan (u_{1})]$

चरण 15.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $u_{1}$ के संबंध में $1 - \tan (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$ है.

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$

चरण 15.1.2.2

चूंकि $u_{1}$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$

चरण 15.1.3

$\frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $u_{1}$ के संबंध में स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $- \tan (u_{1})$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$ है.

$0 - \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

चरण 15.1.3.2

$u_{1}$ के संबंध में $\tan (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (u_{1})$ है.

$0 - \sec^{2} (u_{1})$

चरण 15.1.4

$0$ में से $\sec^{2} (u_{1})$ घटाएं.

$- \sec^{2} (u_{1})$

चरण 15.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 \int \frac{- 1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

चरण 16

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$2 \int - \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

चरण 17

चूँकि $- 1$ बटे $u_{2}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (- \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

चरण 18

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- 2 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

चरण 18.2

${u_{2}}^{2}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$- 2 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

चरण 18.3

घातांक को ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

चरण 18.3.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

चरण 19

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में ${u_{2}}^{- 2}$ का समाकलन $- {u_{2}}^{- 1}$ है.

$- 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

चरण 20

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.1

$- 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$ को $- 2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$

चरण 20.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.2.1

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$2 \frac{1}{u_{2}} + C$

चरण 20.2.2

$2$ और $\frac{1}{u_{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{u_{2}} + C$

चरण 21

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 21.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $1 - \tan (u_{1})$ से बदलें.

$\frac{2}{1 - \tan (u_{1})} + C$

चरण 21.2

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\frac{x}{2}$ से बदलें.

$\frac{2}{1 - \tan (\frac{x}{2})} + C$

चरण 22

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{2}{1 - \tan (\frac{1}{2} x)} + C$