कैलकुलस उदाहरण

$y = \tan (x)$

चरण 1

$x$ के संबंध में $\tan (x)$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (x)$ है.

$f' (x) = \sec^{2} (x)$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \sec (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\sec (x)$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

चरण 2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f'' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (\sec (x))$

चरण 2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\sec (x)$ से बदलें.

$f'' (x) = 2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

चरण 2.2

$x$ के संबंध में $\sec (x)$ का व्युत्पन्न $\sec (x) \tan (x)$ है.

$f'' (x) = 2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))$

चरण 2.3

$\sec (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = 2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x)$

चरण 2.4

$\sec (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = 2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x)$

चरण 2.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

चरण 2.6

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

चरण 3

व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$ है.

$f''' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x) \tan (x))$

चरण 3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = \sec^{2} (x)$ और $g (x) = \tan (x)$ है.

$f''' (x) = 2 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} (\tan (x)) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x)))$

चरण 3.3

$x$ के संबंध में $\tan (x)$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (x)$ है.

$f''' (x) = 2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x)))$

चरण 3.4

घातांक जोड़कर $\sec^{2} (x)$ को $\sec^{2} (x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f''' (x) = 2 ({\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x)))$

चरण 3.4.2

$2$ और $2$ जोड़ें.

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x)))$

चरण 3.5

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\sec (x)$ के रूप में सेट करें.

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x))))$

चरण 3.5.2

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 u \frac{d}{d x} (\sec (x))))$

चरण 3.5.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\sec (x)$ से बदलें.

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))))$

चरण 3.6

$2$ को $\tan (x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 \cdot (\tan (x) \sec (x)) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

चरण 3.7

$x$ के संबंध में $\sec (x)$ का व्युत्पन्न $\sec (x) \tan (x)$ है.

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

चरण 3.8

$\tan (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 (\tan (x) \tan (x)) \sec (x) \sec (x))$

चरण 3.9

$\tan (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 (\tan (x) \tan (x)) \sec (x) \sec (x))$

चरण 3.10

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) \sec (x))$

चरण 3.11

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec (x) \sec (x))$

चरण 3.12

$\sec (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) (\sec (x) \sec (x)))$

चरण 3.13

$\sec (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) (\sec (x) \sec (x)))$

चरण 3.14

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) {\sec (x)}^{1 + 1})$

चरण 3.15

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f''' (x) = 2 (\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

चरण 3.16

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.16.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f''' (x) = 2 \sec^{4} (x) + 2 (2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

चरण 3.16.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f''' (x) = 2 \sec^{4} (x) + 4 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

चरण 3.16.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f''' (x) = 4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x)$

चरण 4

चौथा व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$ है.

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

चरण 4.2

$\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)]$ है.

$f^{4} (x) = 4 \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

चरण 4.2.2

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} (\tan^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

चरण 4.2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \tan (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\tan (x)$ के रूप में सेट करें.

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\tan (x))) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

चरण 4.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\tan (x))) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

चरण 4.2.3.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\tan (x)$ से बदलें.

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} (\tan (x))) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

चरण 4.2.4

$x$ के संबंध में $\tan (x)$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (x)$ है.

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

चरण 4.2.5

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $\sec (x)$ के रूप में सेट करें.

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

चरण 4.2.5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\sec (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

चरण 4.2.5.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\sec (x)$ से बदलें.

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

चरण 4.2.6

$x$ के संबंध में $\sec (x)$ का व्युत्पन्न $\sec (x) \tan (x)$ है.

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

चरण 4.2.7

घातांक जोड़कर $\sec^{2} (x)$ को $\sec^{2} (x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.7.1

$\sec^{2} (x)$ ले जाएं.

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

चरण 4.2.7.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f^{4} (x) = 4 ({\sec (x)}^{2 + 2} (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

चरण 4.2.7.3

$2$ और $2$ जोड़ें.

$f^{4} (x) = 4 (\sec^{4} (x) (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

चरण 4.2.8

$2$ को $\sec^{4} (x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f^{4} (x) = 4 (2 \cdot (\sec^{4} (x) \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

चरण 4.2.9

$\sec (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

चरण 4.2.10

$\sec (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

चरण 4.2.11

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

चरण 4.2.12

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

चरण 4.2.13

घातांक जोड़कर $\tan^{2} (x)$ को $\tan (x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.13.1

$\tan (x)$ ले जाएं.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan (x) \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

चरण 4.2.13.2

$\tan (x)$ को $\tan^{2} (x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.13.2.1

$\tan (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan (x) \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

चरण 4.2.13.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 2} (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

चरण 4.2.13.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{3} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

चरण 4.2.14

$2$ को $\tan^{3} (x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sec^{4} (x))$

चरण 4.3

$\frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 \sec^{4} (x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)]$ है.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 \frac{d}{d x} (\sec^{4} (x))$

चरण 4.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{4}$ और $g (x) = \sec (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{3}$ को $\sec (x)$ के रूप में सेट करें.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (\frac{d}{d u (3)} ({u_{3}}^{4}) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

चरण 4.3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ $n {u_{3}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

चरण 4.3.2.3

$u_{3}$ की सभी घटनाओं को $\sec (x)$ से बदलें.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

चरण 4.3.3

$x$ के संबंध में $\sec (x)$ का व्युत्पन्न $\sec (x) \tan (x)$ है.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)))$

चरण 4.3.4

$\sec (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 (\sec (x) \sec^{3} (x)) \tan (x))$

चरण 4.3.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 {\sec (x)}^{1 + 3} \tan (x))$

चरण 4.3.6

$1$ और $3$ जोड़ें.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{4} (x) \tan (x))$

चरण 4.3.7

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

चरण 4.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f^{4} (x) = 4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x)) + 4 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

चरण 4.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.2.1

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$f^{4} (x) = 8 (\sec^{4} (x) \tan (x)) + 4 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

चरण 4.4.2.2

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$f^{4} (x) = 8 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 (\tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x)$

चरण 4.4.2.3

$8 \sec^{4} (x) \tan (x)$ और $8 \sec^{4} (x) \tan (x)$ जोड़ें.

$f^{4} (x) = 16 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$