कैलकुलस उदाहरण

$y = \ln (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}]$

चरण 1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ से बदलें.

$\frac{1}{\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}]$

चरण 2

$\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$1 \frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}]$

चरण 3

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}]$

चरण 4

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 1 + e^{x}$ और $g (x) = 1 - e^{x}$ है.

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}] - (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

चरण 5

अवकलन करें.

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चरण 5.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + e^{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ है.

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

चरण 5.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

चरण 5.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ जोड़ें.

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

चरण 6

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} - (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

चरण 7

अवकलन करें.

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चरण 7.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - e^{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ है.

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} - (1 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

चरण 7.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} - (1 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

चरण 7.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ जोड़ें.

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} - (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

चरण 7.4

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- e^{x}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ है.

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} - (1 + e^{x}) (- \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

चरण 7.5

गुणा करें.

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चरण 7.5.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} + 1 (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

चरण 7.5.2

$1 + e^{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} + (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

चरण 8

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} + (1 + e^{x}) e^{x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

चरण 9

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}}$ को $\frac{(1 - e^{x}) e^{x} + (1 + e^{x}) e^{x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{(1 - e^{x}) ((1 - e^{x}) e^{x} + (1 + e^{x}) e^{x})}{(1 + e^{x}) {(1 - e^{x})}^{2}}$

चरण 10

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

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चरण 10.1

$(1 + e^{x}) {(1 - e^{x})}^{2}$ में से $1 - e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(1 - e^{x}) ((1 - e^{x}) e^{x} + (1 + e^{x}) e^{x})}{(1 - e^{x}) ((1 + e^{x}) (1 - e^{x}))}$

चरण 10.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(1 - e^{x}) ((1 - e^{x}) e^{x} + (1 + e^{x}) e^{x})}{(1 - e^{x}) ((1 + e^{x}) (1 - e^{x}))}$

चरण 10.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} + (1 + e^{x}) e^{x}}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

चरण 11

सरल करें.

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चरण 11.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1 e^{x} - e^{x} e^{x} + (1 + e^{x}) e^{x}}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

चरण 11.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1 e^{x} - e^{x} e^{x} + 1 e^{x} + e^{x} e^{x}}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

चरण 11.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 11.3.1

$1 e^{x} - e^{x} e^{x} + 1 e^{x} + e^{x} e^{x}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

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चरण 11.3.1.1

$- e^{x} e^{x}$ और $e^{x} e^{x}$ जोड़ें.

$\frac{1 e^{x} + 1 e^{x} + 0}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

चरण 11.3.1.2

$1 e^{x} + 1 e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1 e^{x} + 1 e^{x}}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

चरण 11.3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

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चरण 11.3.2.1

$e^{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{e^{x} + 1 e^{x}}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

चरण 11.3.2.2

$e^{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{e^{x} + e^{x}}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

चरण 11.3.3

$e^{x}$ और $e^{x}$ जोड़ें.

$\frac{2 e^{x}}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$