कैलकुलस उदाहरण

$y = x \sqrt{4 - x}$

चरण 1

$\sqrt{4 - x}$ को ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ है.

$x \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}] + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = 4 - x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $4 - x$ के रूप में सेट करें.

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $4 - x$ से बदलें.

$x (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$x (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$x (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$x (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 7.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$x (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 8

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 8.2

$\frac{1}{2}$ और ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$x (\frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 8.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$x (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 8.4

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x] + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 9

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 - x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ है.

$\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 10

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 11

$0$ और $\frac{d}{d x} [- x]$ जोड़ें.

$\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 12

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 13

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 14

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 14.2

$\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\frac{x \cdot - 1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 14.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.1

$- 1$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{- 1 \cdot x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 14.3.2

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 14.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 15

$- \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

चरण 16

${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$

चरण 17

${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$- \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 18

${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ और $\frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$- \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 20

घातांक जोड़कर ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ को ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.1

${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$\frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 20.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 20.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 20.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 20.5

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{- x + {(4 - x)}^{1} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 21

${(4 - x)}^{1} \cdot 2$ को सरल करें.

$\frac{- x + (4 - x) \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 22

$2$ को $4 - x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{- x + 2 \cdot (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 23

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 23.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- x + 2 \cdot 4 + 2 (- x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 23.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 23.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 23.2.1.1

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{- x + 8 + 2 (- x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 23.2.1.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{- x + 8 - 2 x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 23.2.2

$- x$ में से $2 x$ घटाएं.

$\frac{- 3 x + 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 23.3

$- 3 x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (3 x) + 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 23.4

$8$ को $- 1 (- 8)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- (3 x) - 1 (- 8)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 23.5

$- (3 x) - 1 (- 8)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (3 x - 8)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 23.6

$- (3 x - 8)$ को $- 1 (3 x - 8)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (3 x - 8)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 23.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$