कैलकुलस उदाहरण

$e^{3 t \sin (2 t)}$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = e^{t}$ और $g (t) = 3 t \sin (2 t)$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $3 t \sin (2 t)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [3 t \sin (2 t)]$

चरण 1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [3 t \sin (2 t)]$

चरण 1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $3 t \sin (2 t)$ से बदलें.

$e^{3 t \sin (2 t)} \frac{d}{d t} [3 t \sin (2 t)]$

चरण 2

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

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चरण 2.1

चूंकि $3$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $3 t \sin (2 t)$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)]$ है.

$e^{3 t \sin (2 t)} (3 \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)])$

चरण 2.2

$3$ को $e^{3 t \sin (2 t)}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$3 \cdot e^{3 t \sin (2 t)} \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)]$

चरण 3

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ है, जहाँ $f (t) = t$ और $g (t) = \sin (2 t)$ है.

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t \frac{d}{d t} [\sin (2 t)] + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

चरण 4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = \sin (t)$ और $g (t) = 2 t$ है.

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चरण 4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $2 t$ के रूप में सेट करें.

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

चरण 4.2

$u_{2}$ के संबंध में $\sin (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{2})$ है.

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

चरण 4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 t$ से बदलें.

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

चरण 5

अवकलन करें.

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चरण 5.1

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

चरण 5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) (2 \cdot 1)) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

चरण 5.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 5.3.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) \cdot 2) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

चरण 5.3.2

$2$ को $\cos (2 t)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (2 \cdot \cos (2 t)) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

चरण 5.4

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t)) + \sin (2 t) \cdot 1)$

चरण 5.5

$\sin (2 t)$ को $1$ से गुणा करें.

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t)) + \sin (2 t))$

चरण 6

सरल करें.

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चरण 6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t))) + 3 e^{3 t \sin (2 t)} \sin (2 t)$

चरण 6.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$6 e^{3 t \sin (2 t)} t \cos (2 t) + 3 e^{3 t \sin (2 t)} \sin (2 t)$