कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{1}{2} x^{2}$ , $y = - x^{2} + 6$

चरण 1

वक्रों के बीच प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए प्रतिस्थापन द्वारा हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

प्रत्येक समीकरण के बराबर पक्षों का विलोप करें और संयोजित करें.

$\frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$

चरण 1.2

$x$ के लिए $\frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$\frac{1}{2} x^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.1

फिर से लिखें.

$0 + 0 + \frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$

चरण 1.2.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$\frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$

चरण 1.2.1.3

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2}}{2} = - x^{2} + 6$

चरण 1.2.2

$x$ वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाएँ.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $x^{2}$ जोड़ें.

$\frac{x^{2}}{2} + x^{2} = 6$

चरण 1.2.2.2

$x^{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2}}{2} + x^{2} \cdot \frac{2}{2} = 6$

चरण 1.2.2.3

$x^{2}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{2} \cdot 2}{2} = 6$

चरण 1.2.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x^{2} + x^{2} \cdot 2}{2} = 6$

चरण 1.2.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.5.1

$2$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x^{2}}{2} = 6$

चरण 1.2.2.5.2

$x^{2}$ और $2 x^{2}$ जोड़ें.

$\frac{3 x^{2}}{2} = 6$

चरण 1.2.3

समीकरण के दोनों पक्षों को $\frac{2}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

चरण 1.2.4

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1.1

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1.1.1

जोड़ना.

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

चरण 1.2.4.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

चरण 1.2.4.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

चरण 1.2.4.1.1.3

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

चरण 1.2.4.1.1.3.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

चरण 1.2.4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.1

$\frac{2}{3} \cdot 6$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.1.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.1.1.1

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 (2))$

चरण 1.2.4.2.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

चरण 1.2.4.2.1.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{2} = 2 \cdot 2$

चरण 1.2.4.2.1.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x^{2} = 4$

चरण 1.2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

चरण 1.2.6

$\pm \sqrt{4}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

चरण 1.2.6.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm 2$

चरण 1.2.7

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = 2$

चरण 1.2.7.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - 2$

चरण 1.2.7.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = 2, - 2$

चरण 1.3

$y$ का मूल्यांकन करें जब $x = 2$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$2$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = - {(2)}^{2} + 6$

चरण 1.3.2

$2$ को $x$ के लिए $y = - {(2)}^{2} + 6$ में प्रतिस्थापित करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = - 2^{2} + 6$

चरण 1.3.2.2

$- 2^{2} + 6$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.2.1.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = - 1 \cdot 4 + 6$

चरण 1.3.2.2.1.2

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$y = - 4 + 6$

चरण 1.3.2.2.2

$- 4$ और $6$ जोड़ें.

$y = 2$

चरण 1.4

सिस्टम का हल क्रमित युग्म का पूरा सेट है जो मान्य हल हैं.

$(2, 2)$

$(- 2, 2)$

$(2, 2)$

$(- 2, 2)$

चरण 2

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$y = \frac{x^{2}}{2}$

चरण 3

वक्रों के बीच के क्षेत्र के क्षेत्रफल को ऊपरी वक्र के अवकलन से निचले वक्र के अवकलन को घटाने के रूप में परिभाषित किया जाता है. क्षेत्रों का निर्धारण वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा किया जाता है. यह बीजगणितीय या आलेखीय रूप से किया जा सकता है.

$A r e a = \int_{- 2}^{2} - x^{2} + 6 d x - \int_{- 2}^{2} \frac{x^{2}}{2} d x$

चरण 4

$- 2$ और $2$ के बीच के क्षेत्र को पता करने के लिए समेकित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समाकलन को एकल समाकलन में जोड़ें.

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 6 - (\frac{x^{2}}{2}) d x$

चरण 4.2

$- x^{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + 6 d x$

चरण 4.3

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$- x^{2}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{- x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + 6$

चरण 4.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + 6$

$\int_{- 2}^{2} \frac{- x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + 6 d x$

चरण 4.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1.1

$- x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1.1.1

$- x^{2} \cdot 2$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} (- 1 \cdot 2) - x^{2}}{2} + 6$

चरण 4.4.1.1.2

$- x^{2}$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} (- 1 \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2} + 6$

चरण 4.4.1.1.3

$x^{2} (- 1 \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ में से $x^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{2} (- 1 \cdot 2 - 1)}{2} + 6$

चरण 4.4.1.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} (- 2 - 1)}{2} + 6$

चरण 4.4.1.3

$- 2$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{x^{2} \cdot - 3}{2} + 6$

चरण 4.4.2

$- 3$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{- 3 \cdot x^{2}}{2} + 6$

चरण 4.4.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{3 x^{2}}{2} + 6$

$\int_{- 2}^{2} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 d x$

चरण 4.5

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{- 2}^{2} - \frac{3 x^{2}}{2} d x + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

चरण 4.6

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int_{- 2}^{2} \frac{3 x^{2}}{2} d x + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

चरण 4.7

चूँकि $\frac{3}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{3}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$- (\frac{3}{2} \int_{- 2}^{2} x^{2} d x) + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

चरण 4.8

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$- \frac{3}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

चरण 4.9

स्थिरांक नियम लागू करें.

$- \frac{3}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2} + 6 x]_{- 2}^{2}$

चरण 4.10

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.10.1

$2$ पर और $- 2$ पर $\frac{1}{3} x^{3}$ का मान ज्ञात करें.

$- \frac{3}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 x]_{- 2}^{2}$

चरण 4.10.2

$2$ पर और $- 2$ पर $6 x$ का मान ज्ञात करें.

$- \frac{3}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

चरण 4.10.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.10.3.1

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{3}{2} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

चरण 4.10.3.2

$\frac{1}{3}$ और $8$ को मिलाएं.

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

चरण 4.10.3.3

$- 2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 8) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

चरण 4.10.3.4

$- 8$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} + 8 (\frac{1}{3})) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

चरण 4.10.3.5

$8$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} + \frac{8}{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

चरण 4.10.3.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{8 + 8}{3} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

चरण 4.10.3.7

$8$ और $8$ जोड़ें.

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{16}{3} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

चरण 4.10.3.8

$\frac{16}{3}$ को $\frac{3}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 2} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

चरण 4.10.3.9

$16$ को $3$ से गुणा करें.

$- \frac{48}{3 \cdot 2} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

चरण 4.10.3.10

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{48}{6} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

चरण 4.10.3.11

$48$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.10.3.11.1

$48$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{6 \cdot 8}{6} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

चरण 4.10.3.11.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.10.3.11.2.1

$6$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{6 \cdot 8}{6 (1)} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

चरण 4.10.3.11.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{6 \cdot 8}{6 \cdot 1} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

चरण 4.10.3.11.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{8}{1} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

चरण 4.10.3.11.2.4

$8$ को $1$ से विभाजित करें.

$- 1 \cdot 8 + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

चरण 4.10.3.12

$- 1$ को $8$ से गुणा करें.

$- 8 + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

चरण 4.10.3.13

$6$ को $2$ से गुणा करें.

$- 8 + 12 - 6 \cdot - 2$

चरण 4.10.3.14

$- 6$ को $- 2$ से गुणा करें.

$- 8 + 12 + 12$

चरण 4.10.3.15

$12$ और $12$ जोड़ें.

$- 8 + 24$

चरण 4.10.3.16

$- 8$ और $24$ जोड़ें.

$16$

चरण 5