कैलकुलस उदाहरण

$\int_{1}^{7} \frac{\ln ({(x)}^{2})}{x^{3}} d x$

चरण 1

$\frac{\ln (x^{2})}{x^{3}}$ को $\frac{2 \ln (x)}{x^{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int_{1}^{7} \frac{2 \ln (x)}{x^{3}} d x$

चरण 2

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int_{1}^{7} \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$

चरण 3

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$x^{3}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$2 \int_{1}^{7} \ln (x) {(x^{3})}^{- 1} d x$

चरण 3.2

घातांक को ${(x^{3})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int_{1}^{7} \ln (x) x^{3 \cdot - 1} d x$

चरण 3.2.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 \int_{1}^{7} \ln (x) x^{- 3} d x$

चरण 4

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \ln (x)$ और $d v = x^{- 3}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$2 (\ln (x) (- \frac{1}{2 x^{2}})]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x)$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\ln (x)$ और $\frac{1}{2 x^{2}}$ को मिलाएं.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x)$

चरण 5.2

$\frac{1}{x}$ को $\frac{1}{2 x^{2}}$ से गुणा करें.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{x (2 x^{2})} d x)$

चरण 5.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 (x^{1} x^{2})} d x)$

चरण 5.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{1 + 2}} d x)$

चरण 5.5

$1$ और $2$ जोड़ें.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

चरण 6

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - - \int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + 1 \int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

चरण 7.2

$\int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x$ को $1$ से गुणा करें.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

चरण 8

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} \frac{1}{x^{3}} d x)$

चरण 9

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$x^{3}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} {(x^{3})}^{- 1} d x)$

चरण 9.2

घातांक को ${(x^{3})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} x^{3 \cdot - 1} d x)$

चरण 9.2.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} x^{- 3} d x)$

चरण 10

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{- 3}$ का समाकलन $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ है.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{7})$

चरण 11

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.1

$x^{- 2}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} - \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{7})$

चरण 11.1.2

$\frac{1}{2}$ और $- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{7}$ को मिलाएं.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{7}}{2})$

चरण 11.1.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- 2}$ को भाजक में ले जाएँ.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{7}}{2})$

चरण 11.2

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

$7$ पर और $1$ पर $- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$2 ((- \frac{\ln (7)}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{7}}{2})$

चरण 11.2.2

$7$ पर और $1$ पर $- \frac{1}{2 x^{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$2 ((- \frac{\ln (7)}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

चरण 11.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.3.1

$7$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 (- \frac{\ln (7)}{2 \cdot 49} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

चरण 11.2.3.2

$2$ को $49$ से गुणा करें.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

चरण 11.2.3.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

चरण 11.2.3.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

चरण 11.2.3.5

$7$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{2 \cdot 49} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

चरण 11.2.3.6

$2$ को $49$ से गुणा करें.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

चरण 11.2.3.7

एक का कोई भी घात एक होता है.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2 \cdot 1}}{2})$

चरण 11.2.3.8

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2}}{2})$

चरण 11.2.3.9

$\frac{1}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{49}{49}$ से गुणा करें.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2} \cdot \frac{49}{49}}{2})$

चरण 11.2.3.10

प्रत्येक व्यंजक को $98$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.3.10.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{49}{49}$ से गुणा करें.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{49}{2 \cdot 49}}{2})$

चरण 11.2.3.10.2

$2$ को $49$ से गुणा करें.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{49}{98}}{2})$

चरण 11.2.3.11

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{- 1 + 49}{98}}{2})$

चरण 11.2.3.12

$- 1$ और $49$ जोड़ें.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{48}{98}}{2})$

चरण 11.2.3.13

$48$ और $98$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.3.13.1

$48$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{2 (24)}{98}}{2})$

चरण 11.2.3.13.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.3.13.2.1

$98$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 49}}{2})$

चरण 11.2.3.13.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 49}}{2})$

चरण 11.2.3.13.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{24}{49}}{2})$

चरण 11.2.3.14

एक गुणनफल के रूप में $\frac{\frac{24}{49}}{2}$ को फिर से लिखें.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{24}{49} \cdot \frac{1}{2})$

चरण 11.2.3.15

$\frac{24}{49}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{24}{49 \cdot 2})$

चरण 11.2.3.16

$49$ को $2$ से गुणा करें.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{24}{98})$

चरण 11.2.3.17

$24$ और $98$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.3.17.1

$24$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{2 (12)}{98})$

चरण 11.2.3.17.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.3.17.2.1

$98$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 49})$

चरण 11.2.3.17.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 49})$

चरण 11.2.3.17.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{12}{49})$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{0}{2} + \frac{12}{49})$

चरण 12.1.2

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + 0 + \frac{12}{49})$

चरण 12.2

$- \frac{\ln (7)}{98}$ और $0$ जोड़ें.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{12}{49})$

चरण 12.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98}) + 2 (\frac{12}{49})$

चरण 12.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.1

$- \frac{\ln (7)}{98}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$2 \frac{- \ln (7)}{98} + 2 (\frac{12}{49})$

चरण 12.4.2

$98$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 \frac{- \ln (7)}{2 (49)} + 2 (\frac{12}{49})$

चरण 12.4.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{- \ln (7)}{2 \cdot 49} + 2 (\frac{12}{49})$

चरण 12.4.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- \ln (7)}{49} + 2 (\frac{12}{49})$

चरण 12.5

$2 (\frac{12}{49})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.5.1

$2$ और $\frac{12}{49}$ को मिलाएं.

$\frac{- \ln (7)}{49} + \frac{2 \cdot 12}{49}$

चरण 12.5.2

$2$ को $12$ से गुणा करें.

$\frac{- \ln (7)}{49} + \frac{24}{49}$

चरण 12.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{\ln (7)}{49} + \frac{24}{49}$

चरण 13

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$- \frac{\ln (7)}{49} + \frac{24}{49}$

दशमलव रूप:

$0.45008346 \dots$