कैलकुलस उदाहरण

$\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{4 x}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

चरण 1

चूँकि $4$ बटे $x$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$4 \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

चरण 2

मान लीजिए $u = x^{2} + 1$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u = x^{2} + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$x^{2} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 2.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 0$

चरण 2.1.5

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 2.2

$x$ के लिए $u = x^{2} + 1$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

चरण 2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$u_{lower} = 0 + 1$

चरण 2.3.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$u_{lower} = 1$

चरण 2.4

$x$ के लिए $u = x^{2} + 1$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = {\sqrt{3}}^{2} + 1$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$u_{upper} = {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

चरण 2.5.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

चरण 2.5.1.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$u_{upper} = 3^{\frac{2}{2}} + 1$

चरण 2.5.1.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$u_{upper} = 3^{\frac{2}{2}} + 1$

चरण 2.5.1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$u_{upper} = 3^{1} + 1$

चरण 2.5.1.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$u_{upper} = 3 + 1$

चरण 2.5.2

$3$ और $1$ जोड़ें.

$u_{upper} = 4$

चरण 2.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

चरण 2.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$4 \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$4 \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

चरण 3.2

$2$ को $\sqrt{u}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 \int_{1}^{4} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

चरण 4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$4 (\frac{1}{2} \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

चरण 5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$\frac{1}{2}$ और $4$ को मिलाएं.

$\frac{4}{2} \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 5.1.2

$4$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 5.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 5.1.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 5.1.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2}{1} \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 5.1.2.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

चरण 5.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$\sqrt{u}$ को $u^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$2 \int_{1}^{4} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

चरण 5.2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$2 \int_{1}^{4} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

चरण 5.2.3

घातांक को ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

चरण 5.2.3.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$2 \int_{1}^{4} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

चरण 5.2.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$2 \int_{1}^{4} u^{- \frac{1}{2}} d u$

चरण 6

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 u^{\frac{1}{2}}$ है.

$2 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4})$

चरण 7

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$4$ पर और $1$ पर $2 u^{\frac{1}{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

चरण 7.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

चरण 7.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

चरण 7.2.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

चरण 7.2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 (2 \cdot 2^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

चरण 7.2.4

घातांक का मान ज्ञात करें.

$2 (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

चरण 7.2.5

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$2 (4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

चरण 7.2.6

एक का कोई भी घात एक होता है.

$2 (4 - 2 \cdot 1)$

चरण 7.2.7

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 (4 - 2)$

चरण 7.2.8

$4$ में से $2$ घटाएं.

$2 \cdot 2$

चरण 7.2.9

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$4$

चरण 8