कैलकुलस उदाहरण

$\int \ln (4 x - 3) d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \ln (4 x - 3)$ और $d v = 1$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\ln (4 x - 3) x - \int x \frac{4}{4 x - 3} d x$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x$ और $\frac{4}{4 x - 3}$ को मिलाएं.

$\ln (4 x - 3) x - \int \frac{x \cdot 4}{4 x - 3} d x$

चरण 2.2

$4$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\ln (4 x - 3) x - \int \frac{4 x}{4 x - 3} d x$

चरण 3

चूँकि $4$ बटे $x$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (4 x - 3) x - (4 \int \frac{x}{4 x - 3} d x)$

चरण 4

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\ln (4 x - 3) x - 4 \int \frac{x}{4 x - 3} d x$

चरण 5

$x$ को $4 x - 3$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$4 x$

$3$

$x$

$0$

चरण 5.2

भाज्य $x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $4 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$\frac{1}{4}$
	$4 x$	-	$3$		$x$	+	$0$

चरण 5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	-	$3$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$\frac{3}{4}$

चरण 5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x - \frac{3}{4}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	-	$3$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$\frac{3}{4}$

चरण 5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	-	$3$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$\frac{3}{4}$
					+	$\frac{3}{4}$

चरण 5.6

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\ln (4 x - 3) x - 4 \int \frac{1}{4} + \frac{3}{4 (4 x - 3)} d x$

चरण 6

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\int \frac{1}{4} d x + \int \frac{3}{4 (4 x - 3)} d x)$

चरण 7

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{1}{4} x + C + \int \frac{3}{4 (4 x - 3)} d x)$

चरण 8

चूँकि $\frac{3}{4}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{3}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{1}{4} x + C + \frac{3}{4} \int \frac{1}{4 x - 3} d x)$

चरण 9

मान लीजिए $u = 4 x - 3$ .फिर $d u = 4 d x$ , तो $\frac{1}{4} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

मान लें $u = 4 x - 3$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$4 x - 3$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [4 x - 3]$

चरण 9.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x - 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ है.

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 9.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 9.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 9.1.3.3

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4 + \frac{d}{d x} [- 3]$

चरण 9.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 + 0$

चरण 9.1.4.2

$4$ और $0$ जोड़ें.

$4$

चरण 9.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{1}{4} x + C + \frac{3}{4} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u)$

चरण 10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{1}{4} x + C + \frac{3}{4} \int \frac{1}{u \cdot 4} d u)$

चरण 10.2

$4$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{1}{4} x + C + \frac{3}{4} \int \frac{1}{4 \cdot u} d u)$

चरण 10.3

$\frac{1}{4}$ और $x$ को मिलाएं.

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{x}{4} + C + \frac{3}{4} \int \frac{1}{4 u} d u)$

चरण 11

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{x}{4} + C + \frac{3}{4} (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u))$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{1}{4}$ को $\frac{3}{4}$ से गुणा करें.

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{x}{4} + C + \frac{3}{4 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u)$

चरण 12.2

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{x}{4} + C + \frac{3}{16} \int \frac{1}{u} d u)$

चरण 13

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{x}{4} + C + \frac{3}{16} (\ln (| u |) + C))$

चरण 14

सरल करें.

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{1}{4} x + \frac{3}{16} \ln (| u |)) + C$

चरण 15

$u$ की सभी घटनाओं को $4 x - 3$ से बदलें.

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{1}{4} x + \frac{3}{16} \ln (| 4 x - 3 |)) + C$

चरण 16

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1.1

$\frac{1}{4}$ और $x$ को मिलाएं.

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{x}{4} + \frac{3}{16} \ln (| 4 x - 3 |)) + C$

चरण 16.1.2

$\frac{3}{16}$ और $\ln (| 4 x - 3 |)$ को मिलाएं.

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{x}{4} + \frac{3 \ln (| 4 x - 3 |)}{16}) + C$

चरण 16.2

$\frac{x}{4}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{x}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3 \ln (| 4 x - 3 |)}{16}) + C$

चरण 16.3

प्रत्येक व्यंजक को $16$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.3.1

$\frac{x}{4}$ को $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{x \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{3 \ln (| 4 x - 3 |)}{16}) + C$

चरण 16.3.2

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$\ln (4 x - 3) x - 4 (\frac{x \cdot 4}{16} + \frac{3 \ln (| 4 x - 3 |)}{16}) + C$

चरण 16.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\ln (4 x - 3) x - 4 \frac{x \cdot 4 + 3 \ln (| 4 x - 3 |)}{16} + C$

चरण 16.5

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.5.1

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\ln (4 x - 3) x + 4 (- 1) \frac{x \cdot 4 + 3 \ln (| 4 x - 3 |)}{16} + C$

चरण 16.5.2

$16$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\ln (4 x - 3) x + 4 \cdot - 1 \frac{x \cdot 4 + 3 \ln (| 4 x - 3 |)}{4 \cdot 4} + C$

चरण 16.5.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (4 x - 3) x + 4 \cdot - 1 \frac{x \cdot 4 + 3 \ln (| 4 x - 3 |)}{4 \cdot 4} + C$

चरण 16.5.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (4 x - 3) x - \frac{x \cdot 4 + 3 \ln (| 4 x - 3 |)}{4} + C$

चरण 16.6

$4$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\ln (4 x - 3) x - \frac{4 x + 3 \ln (| 4 x - 3 |)}{4} + C$

चरण 17

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\ln (4 x - 3) x - \frac{1}{4} (4 x + 3 \ln (| 4 x - 3 |)) + C$