कैलकुलस उदाहरण

$y = x$ , $y = \sqrt[6]{x}$

चरण 1

वक्रों के बीच प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए प्रतिस्थापन द्वारा हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

प्रत्येक समीकरण के बराबर पक्षों का विलोप करें और संयोजित करें.

$x = \sqrt[6]{x}$

चरण 1.2

$x$ के लिए $x = \sqrt[6]{x}$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि करणी समीकरण के दाएं पक्ष की ओर है, पक्षों को स्विच करें ताकि यह समीकरण के बाएं पक्ष की ओर हो.

$\sqrt[6]{x} = x$

चरण 1.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $x$ घटाएं.

$\sqrt[6]{x} - x = 0$

चरण 1.2.3

$\sqrt[6]{x} - x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$\sqrt[6]{x}$ को $x^{\frac{1}{6}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$x^{\frac{1}{6}} - x = 0$

चरण 1.2.3.2

$x^{\frac{1}{6}} - x$ में से $x^{\frac{1}{6}}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1

$1$ से गुणा करें.

$x^{\frac{1}{6}} \cdot 1 - x = 0$

चरण 1.2.3.2.2

$- x$ में से $x^{\frac{1}{6}}$ का गुणनखंड करें.

$x^{\frac{1}{6}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{6}} (- x^{\frac{5}{6}}) = 0$

चरण 1.2.3.2.3

$x^{\frac{1}{6}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{6}} (- x^{\frac{5}{6}})$ में से $x^{\frac{1}{6}}$ का गुणनखंड करें.

$x^{\frac{1}{6}} (1 - x^{\frac{5}{6}}) = 0$

चरण 1.2.4

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x^{\frac{1}{6}} = 0$

$1 - x^{\frac{5}{6}} = 0 + y = \sqrt[6]{x}$

चरण 1.2.5

$x^{\frac{1}{6}}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

$x^{\frac{1}{6}}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{\frac{1}{6}} = 0$

चरण 1.2.5.2

$x$ के लिए $x^{\frac{1}{6}} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.1

बाईं ओर के भिन्नात्मक घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के प्रत्येक पक्ष को $6$ की घात तक बढ़ाएँ.

${(x^{\frac{1}{6}})}^{6} = 0^{6}$

चरण 1.2.5.2.2

घातांक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.2.1.1

${(x^{\frac{1}{6}})}^{6}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.2.1.1.1

घातांक को ${(x^{\frac{1}{6}})}^{6}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.2.1.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = 0^{6}$

चरण 1.2.5.2.2.1.1.1.2

$6$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.2.1.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = 0^{6}$

चरण 1.2.5.2.2.1.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{1} = 0^{6}$

चरण 1.2.5.2.2.1.1.2

सरल करें.

$x = 0^{6}$

चरण 1.2.5.2.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.2.2.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$x = 0$

चरण 1.2.6

$1 - x^{\frac{5}{6}}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

$1 - x^{\frac{5}{6}}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$1 - x^{\frac{5}{6}} = 0$

चरण 1.2.6.2

$x$ के लिए $1 - x^{\frac{5}{6}} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$- x^{\frac{5}{6}} = - 1$

चरण 1.2.6.2.2

बाईं ओर के भिन्नात्मक घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के प्रत्येक पक्ष को $\frac{6}{5}$ की घात तक बढ़ाएँ.

${(- x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

चरण 1.2.6.2.3

घातांक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.3.1.1

${(- x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.3.1.1.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.3.1.1.1.1

उत्पाद नियम को $- x^{\frac{5}{6}}$ पर लागू करें.

${(- 1)}^{\frac{6}{5}} {(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

चरण 1.2.6.2.3.1.1.1.2

$- 1$ को ${(- 1)}^{5}$ के रूप में फिर से लिखें.

${({(- 1)}^{5})}^{\frac{6}{5}} {(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

चरण 1.2.6.2.3.1.1.1.3

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 1)}^{5 (\frac{6}{5})} {(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

चरण 1.2.6.2.3.1.1.2

$5$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.3.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${(- 1)}^{5 (\frac{6}{5})} {(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

चरण 1.2.6.2.3.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

${(- 1)}^{6} {(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

चरण 1.2.6.2.3.1.1.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.3.1.1.3.1

$- 1$ को $6$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 {(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

चरण 1.2.6.2.3.1.1.3.2

${(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}}$ को $1$ से गुणा करें.

${(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

चरण 1.2.6.2.3.1.1.3.3

घातांक को ${(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.3.1.1.3.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

चरण 1.2.6.2.3.1.1.3.3.2

$5$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.3.1.1.3.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{\frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

चरण 1.2.6.2.3.1.1.3.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

चरण 1.2.6.2.3.1.1.3.3.3

$6$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.3.1.1.3.3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

चरण 1.2.6.2.3.1.1.3.3.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{1} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

चरण 1.2.6.2.3.1.1.4

सरल करें.

$x = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

चरण 1.2.6.2.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.3.2.1

${(- 1)}^{\frac{6}{5}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.3.2.1.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.3.2.1.1.1

$- 1$ को ${(- 1)}^{5}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = {({(- 1)}^{5})}^{\frac{6}{5}}$

चरण 1.2.6.2.3.2.1.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = {(- 1)}^{5 (\frac{6}{5})}$

चरण 1.2.6.2.3.2.1.2

$5$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.3.2.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = {(- 1)}^{5 (\frac{6}{5})}$

चरण 1.2.6.2.3.2.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = {(- 1)}^{6}$

चरण 1.2.6.2.3.2.1.3

$- 1$ को $6$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = 1$

चरण 1.2.7

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $x^{\frac{1}{6}} (1 - x^{\frac{5}{6}}) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, 1$

चरण 1.3

$y$ का मूल्यांकन करें जब $x = 0$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$0$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = \sqrt[6]{0}$

चरण 1.3.2

$\sqrt[6]{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = \sqrt[6]{0}$

चरण 1.3.2.2

$0$ को $0^{6}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \sqrt[6]{0^{6}}$

चरण 1.3.2.3

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$y = 0$

चरण 1.4

$y$ का मूल्यांकन करें जब $x = 1$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = \sqrt[6]{1}$

चरण 1.4.2

$\sqrt[6]{1}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = \sqrt[6]{1}$

चरण 1.4.2.2

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$y = 1$

चरण 1.5

सिस्टम का हल क्रमित युग्म का पूरा सेट है जो मान्य हल हैं.

$(0, 0)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(1, 1)$

चरण 2

वक्रों के बीच के क्षेत्र के क्षेत्रफल को ऊपरी वक्र के अवकलन से निचले वक्र के अवकलन को घटाने के रूप में परिभाषित किया जाता है. क्षेत्रों का निर्धारण वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा किया जाता है. यह बीजगणितीय या आलेखीय रूप से किया जा सकता है.

$A r e a = \int_{0}^{1} \sqrt[6]{x} d x - \int_{0}^{1} x d x$

चरण 3

$0$ और $1$ के बीच के क्षेत्र को पता करने के लिए समेकित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समाकलन को एकल समाकलन में जोड़ें.

$\int_{0}^{1} \sqrt[6]{x} - (x) d x$

चरण 3.2

$- 1$ को $x$ से गुणा करें.

$\int_{0}^{1} \sqrt[6]{x} - x d x$

चरण 3.3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{0}^{1} \sqrt[6]{x} d x + \int_{0}^{1} - x d x$

चरण 3.4

$\sqrt[6]{x}$ को $x^{\frac{1}{6}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{6}} d x + \int_{0}^{1} - x d x$

चरण 3.5

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{\frac{1}{6}}$ का समाकलन $\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}}$ है.

$\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x d x$

चरण 3.6

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x d x$

चरण 3.7

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}}]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1})$

चरण 3.8

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}}]_{0}^{1} - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

चरण 3.8.2

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.2.1

$1$ पर और $0$ पर $\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}}$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{6}{7} \cdot 1^{\frac{7}{6}}) - \frac{6}{7} \cdot 0^{\frac{7}{6}} - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

चरण 3.8.2.2

$1$ पर और $0$ पर $\frac{x^{2}}{2}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{6}{7} \cdot 1^{\frac{7}{6}} - \frac{6}{7} \cdot 0^{\frac{7}{6}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 3.8.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.2.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{6}{7} \cdot 1 - \frac{6}{7} \cdot 0^{\frac{7}{6}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 3.8.2.3.2

$\frac{6}{7}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{6}{7} - \frac{6}{7} \cdot 0^{\frac{7}{6}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 3.8.2.3.3

$0$ को $0^{6}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{6}{7} - \frac{6}{7} \cdot {(0^{6})}^{\frac{7}{6}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 3.8.2.3.4

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6}{7} - \frac{6}{7} \cdot 0^{6 (\frac{7}{6})} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 3.8.2.3.5

$6$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.2.3.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{6}{7} - \frac{6}{7} \cdot 0^{6 (\frac{7}{6})} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 3.8.2.3.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{6}{7} - \frac{6}{7} \cdot 0^{7} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 3.8.2.3.6

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{6}{7} - \frac{6}{7} \cdot 0 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 3.8.2.3.7

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{6}{7} + 0 (\frac{6}{7}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 3.8.2.3.8

$0$ को $\frac{6}{7}$ से गुणा करें.

$\frac{6}{7} + 0 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 3.8.2.3.9

$\frac{6}{7}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{6}{7} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 3.8.2.3.10

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{6}{7} - (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

चरण 3.8.2.3.11

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{6}{7} - (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

चरण 3.8.2.3.12

$0$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.2.3.12.1

$0$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{6}{7} - (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

चरण 3.8.2.3.12.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.2.3.12.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{6}{7} - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

चरण 3.8.2.3.12.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{6}{7} - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

चरण 3.8.2.3.12.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{6}{7} - (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

चरण 3.8.2.3.12.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{6}{7} - (\frac{1}{2} - 0)$

चरण 3.8.2.3.13

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{6}{7} - (\frac{1}{2} + 0)$

चरण 3.8.2.3.14

$\frac{1}{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{6}{7} - \frac{1}{2}$

चरण 3.8.2.3.15

$\frac{6}{7}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

चरण 3.8.2.3.16

$- \frac{1}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{7}{7}$ से गुणा करें.

$\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7}$

चरण 3.8.2.3.17

प्रत्येक व्यंजक को $14$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.2.3.17.1

$\frac{6}{7}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{6 \cdot 2}{7 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7}$

चरण 3.8.2.3.17.2

$7$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{6 \cdot 2}{14} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7}$

चरण 3.8.2.3.17.3

$\frac{1}{2}$ को $\frac{7}{7}$ से गुणा करें.

$\frac{6 \cdot 2}{14} - \frac{7}{2 \cdot 7}$

चरण 3.8.2.3.17.4

$2$ को $7$ से गुणा करें.

$\frac{6 \cdot 2}{14} - \frac{7}{14}$

चरण 3.8.2.3.18

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{6 \cdot 2 - 7}{14}$

चरण 3.8.2.3.19

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.2.3.19.1

$6$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{12 - 7}{14}$

चरण 3.8.2.3.19.2

$12$ में से $7$ घटाएं.

$\frac{5}{14}$

चरण 4