कैलकुलस उदाहरण

$\int_{7}^{8} x \sqrt{x - 7} d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = \sqrt{x - 7}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$x (\frac{2}{3} {(x - 7)}^{\frac{3}{2}})]_{7}^{8} - \int_{7}^{8} \frac{2}{3} {(x - 7)}^{\frac{3}{2}} d x$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{2}{3}$ और ${(x - 7)}^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$x \frac{2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{7}^{8} - \int_{7}^{8} \frac{2}{3} {(x - 7)}^{\frac{3}{2}} d x$

चरण 2.2

$x$ और $\frac{2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{x (2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{7}^{8} - \int_{7}^{8} \frac{2}{3} {(x - 7)}^{\frac{3}{2}} d x$

चरण 3

चूँकि $\frac{2}{3}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{2}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{x (2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{7}^{8} - (\frac{2}{3} \int_{7}^{8} {(x - 7)}^{\frac{3}{2}} d x)$

चरण 4

मान लीजिए $u = x - 7$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u = x - 7$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$x - 7$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x - 7]$

चरण 4.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 7$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

चरण 4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

चरण 4.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 7$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 7$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 4.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 4.2

$x$ के लिए $u = x - 7$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 7 - 7$

चरण 4.3

$7$ में से $7$ घटाएं.

$u_{lower} = 0$

चरण 4.4

$x$ के लिए $u = x - 7$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 8 - 7$

चरण 4.5

$8$ में से $7$ घटाएं.

$u_{upper} = 1$

चरण 4.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

चरण 4.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{x (2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{7}^{8} - \frac{2}{3} \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{3}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ है.

$\frac{x (2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{7}^{8} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

चरण 6

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$8$ पर और $7$ पर $\frac{x (2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{8 (2 {(8 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{7 (2 {(7 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

चरण 6.2

$1$ पर और $0$ पर $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{8 (2 {(8 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{7 (2 {(7 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$8$ में से $7$ घटाएं.

$\frac{8 (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{7 (2 {(7 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{8 (2 \cdot 1)}{3} - \frac{7 (2 {(7 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{8 \cdot 2}{3} - \frac{7 (2 {(7 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.4

$8$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 {(7 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.5

$7$ में से $7$ घटाएं.

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 \cdot 0^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.6

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.7

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.8

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.8.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.8.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 \cdot 0^{3})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.9

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.10

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{16}{3} - \frac{7 \cdot 0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.11

$7$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{16}{3} - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.12

$0$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.12.1

$0$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{16}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.12.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.12.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.12.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.12.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{16}{3} - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.12.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{16}{3} - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.13

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{16}{3} + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.14

$\frac{16}{3}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.15

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 1 - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.16

$\frac{2}{5}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.17

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}})$

चरण 6.3.18

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

चरण 6.3.19

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.19.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

चरण 6.3.19.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5})$

चरण 6.3.20

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0)$

चरण 6.3.21

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0 (\frac{2}{5}))$

चरण 6.3.22

$0$ को $\frac{2}{5}$ से गुणा करें.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0)$

चरण 6.3.23

$\frac{2}{5}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5}$

चरण 6.3.24

$\frac{2}{5}$ को $\frac{2}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

चरण 6.3.25

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{16}{3} - \frac{4}{5 \cdot 3}$

चरण 6.3.26

$5$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{16}{3} - \frac{4}{15}$

चरण 6.3.27

$\frac{16}{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$\frac{16}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{15}$

चरण 6.3.28

प्रत्येक व्यंजक को $15$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.28.1

$\frac{16}{3}$ को $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$\frac{16 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{4}{15}$

चरण 6.3.28.2

$3$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{16 \cdot 5}{15} - \frac{4}{15}$

चरण 6.3.29

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{16 \cdot 5 - 4}{15}$

चरण 6.3.30

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.30.1

$16$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{80 - 4}{15}$

चरण 6.3.30.2

$80$ में से $4$ घटाएं.

$\frac{76}{15}$

चरण 7

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{76}{15}$

दशमलव रूप:

$5.0\overline{6}$

मिश्रित संख्या रूप:

$5 \frac{1}{15}$

चरण 8