कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 4}} d x$

चरण 1

मान लीजिए $x = 2 \tan (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $2 \sec^{2} (t)$ सकारात्मक है.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

उत्पाद नियम को $2 \tan (t)$ पर लागू करें.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{2^{2} \tan^{2} (t) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 2.1.1.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \tan^{2} (t) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 2.1.2

$4 \tan^{2} (t) + 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

$4 \tan^{2} (t)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 2.1.2.2

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 2.1.2.3

$4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 2.1.3

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 2.1.4

$4 \sec^{2} (t)$ को ${(2 \sec (t))}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 2.1.5

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

चरण 2.2

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$2 \sec (t)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

$2 \sec^{2} (t)$ में से $2 \sec (t)$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

चरण 2.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

चरण 2.2.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sec (t) d t$

चरण 2.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$2 \tan (t)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\int {(2 (\tan (t)))}^{3} \sec (t) d t$

चरण 2.2.2.2

उत्पाद नियम को $2 (\tan (t))$ पर लागू करें.

$\int 2^{3} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

चरण 2.2.2.3

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int 8 \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

चरण 3

चूँकि $8$ बटे $t$ अचर है, $8$ को समाकलन से हटा दें.

$8 \int \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

चरण 4

$\sec (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$8 \int \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

चरण 5

$\tan^{2} (t)$ का गुणनखंड करें.

$8 \int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

चरण 6

पाइथागोरस पहचान का उपयोग करते हुए, $\tan^{2} (t)$ को $- 1 + \sec^{2} (t)$ के रूप में फिर से लिखें.

$8 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

चरण 7

सरल करें.

$8 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

चरण 8

मान लीजिए $u = \sec (t)$ .फिर $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , तो $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

मान लें $u = \sec (t)$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$\sec (t)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

चरण 8.1.2

$t$ के संबंध में $\sec (t)$ का व्युत्पन्न $\sec (t) \tan (t)$ है.

$\sec (t) \tan (t)$

चरण 8.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$8 \int - 1 + u^{2} d u$

चरण 9

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$8 (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

चरण 10

स्थिरांक नियम लागू करें.

$8 (- u + C + \int u^{2} d u)$

चरण 11

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} u^{3}$ है.

$8 (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{1}{3}$ और $u^{3}$ को मिलाएं.

$8 (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

चरण 12.2

सरल करें.

$8 (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

चरण 13

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$u$ की सभी घटनाओं को $\sec (t)$ से बदलें.

$8 (- \sec (t) + \frac{1}{3} \sec^{3} (t)) + C$

चरण 13.2

$t$ की सभी घटनाओं को $\arctan (\frac{x}{2})$ से बदलें.

$8 (- \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

चरण 14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1.1

समतल में एक त्रिभुज बनाएंं जिसमें शीर्ष $(1, \frac{x}{2})$ , $(1, 0)$ और मूल बिंदु हों. फिर $\arctan (\frac{x}{2})$ धनात्मक x-अक्ष और किरण के बीच का कोण है जो मूल बिंदु से शुरू होकर $(1, \frac{x}{2})$ से होकर गुजरती है. इसलिए, $\sec (\arctan (\frac{x}{2}))$ $\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ है.

$8 (- \sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

चरण 14.1.2

उत्पाद नियम को $\frac{x}{2}$ पर लागू करें.

$8 (- \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

चरण 14.1.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$8 (- \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

चरण 14.1.4

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$8 (- \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

चरण 14.1.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$8 (- \sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

चरण 14.1.6

$\frac{4 + x^{2}}{4}$ को ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1.6.1

$4 + x^{2}$ में से पूर्ण घात $1^{2}$ का गुणनखंड करें.

$8 (- \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

चरण 14.1.6.2

$4$ में से पूर्ण घात $2^{2}$ का गुणनखंड करें.

$8 (- \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

चरण 14.1.6.3

भिन्न को पुनर्व्यवस्थित करें $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$8 (- \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

चरण 14.1.7

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$8 (- (\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}}) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

चरण 14.1.8

$\frac{1}{2}$ और $\sqrt{4 + x^{2}}$ को मिलाएं.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

चरण 14.1.9

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}^{3}) + C$

चरण 14.1.10

उत्पाद नियम को $\frac{x}{2}$ पर लागू करें.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}}}^{3}) + C$

चरण 14.1.11

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}}}^{3}) + C$

चरण 14.1.12

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}}}^{3}) + C$

चरण 14.1.13

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}}}^{3}) + C$

चरण 14.1.14

$\frac{4 + x^{2}}{4}$ को ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1.14.1

$4 + x^{2}$ में से पूर्ण घात $1^{2}$ का गुणनखंड करें.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}}}^{3}) + C$

चरण 14.1.14.2

$4$ में से पूर्ण घात $2^{2}$ का गुणनखंड करें.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}}}^{3}) + C$

चरण 14.1.14.3

भिन्न को पुनर्व्यवस्थित करें $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})}}^{3}) + C$

चरण 14.1.15

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}})}^{3}) + C$

चरण 14.1.16

$\frac{1}{2}$ और $\sqrt{4 + x^{2}}$ को मिलाएं.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {(\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2})}^{3}) + C$

चरण 14.1.17

उत्पाद नियम को $\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ पर लागू करें.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{2^{3}}) + C$

चरण 14.1.18

जोड़ना.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1 {\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 2^{3}}) + C$

चरण 14.1.19

${\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 2^{3}}) + C$

चरण 14.1.20

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 8}) + C$

चरण 14.1.21

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1.21.1

${\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}$ को $\sqrt{{(4 + x^{2})}^{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{{(4 + x^{2})}^{3}}}{3 \cdot 8}) + C$

चरण 14.1.21.2

${(4 + x^{2})}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{{(4 + x^{2})}^{2} (4 + x^{2})}}{3 \cdot 8}) + C$

चरण 14.1.21.3

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{(4 + x^{2}) \sqrt{4 + x^{2}}}{3 \cdot 8}) + C$

चरण 14.1.21.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{4 \sqrt{4 + x^{2}} + x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}}{3 \cdot 8}) + C$

चरण 14.1.21.5

$4 \sqrt{4 + x^{2}} + x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}$ में से $\sqrt{4 + x^{2}}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1.21.5.1

$4 \sqrt{4 + x^{2}}$ में से $\sqrt{4 + x^{2}}$ का गुणनखंड करें.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 4 + x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}}{3 \cdot 8}) + C$

चरण 14.1.21.5.2

$x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}$ में से $\sqrt{4 + x^{2}}$ का गुणनखंड करें.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 4 + \sqrt{4 + x^{2}} x^{2}}{3 \cdot 8}) + C$

चरण 14.1.21.5.3

$\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 4 + \sqrt{4 + x^{2}} x^{2}$ में से $\sqrt{4 + x^{2}}$ का गुणनखंड करें.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{3 \cdot 8}) + C$

चरण 14.1.22

$3$ को $8$ से गुणा करें.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

चरण 14.2

$- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{12}{12}$ से गुणा करें.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \cdot \frac{12}{12} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

चरण 14.3

प्रत्येक व्यंजक को $24$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.1

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ को $\frac{12}{12}$ से गुणा करें.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12}{2 \cdot 12} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

चरण 14.3.2

$2$ को $12$ से गुणा करें.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12}{24} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

चरण 14.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$8 \frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24} + C$

चरण 14.5

$8$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.5.1

$24$ में से $8$ का गुणनखंड करें.

$8 \frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{8 (3)} + C$

चरण 14.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$8 \frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{8 \cdot 3} + C$

चरण 14.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{3} + C$

चरण 14.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.6.1

$- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})$ में से $\sqrt{4 + x^{2}}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.6.1.1

$- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12$ में से $\sqrt{4 + x^{2}}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 \cdot 12) + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{3} + C$

चरण 14.6.1.2

$\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 \cdot 12) + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})$ में से $\sqrt{4 + x^{2}}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 \cdot 12 + 4 + x^{2})}{3} + C$

चरण 14.6.2

$- 1$ को $12$ से गुणा करें.

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 12 + 4 + x^{2})}{3} + C$

चरण 14.6.3

$- 12$ और $4$ जोड़ें.

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 8 + x^{2})}{3} + C$

चरण 14.7

$- 8$ को $- 1 (8)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 (8) + x^{2})}{3} + C$

चरण 14.8

$x^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 (8) - 1 (- x^{2}))}{3} + C$

चरण 14.9

$- 1 (8) - 1 (- x^{2})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 (8 - x^{2}))}{3} + C$

चरण 14.10

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (8 - x^{2})}{3} + C$