कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{1}{1 + \cos (x)} d x$

चरण 1

$\cos (x)$ को $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ में बदलने के लिए दोहरा कोण सर्वसमिका का प्रयोग करें.

$\int \frac{1}{1 + \cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

चरण 2

पाइथागोरस की सर्वसमिका का उपयोग $1$ को $\sin^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2})$ में बदलने के लिए करें.

$\int \frac{1}{\sin^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

${\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ में से ${\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ घटाएं.

$\int \frac{1}{{\cos (\frac{x}{2})}^{2} + {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + 0} d x$

चरण 3.2

${\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ और ${\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ जोड़ें.

$\int \frac{1}{2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + 0} d x$

चरण 3.3

$2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2})} d x$

चरण 4

तर्क को $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})}$ से गुणा करें

$\int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

चरण 5

जोड़ना.

$\int \frac{1 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

चरण 6

${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

चरण 7

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\sec (\frac{x}{2})$ को फिर से लिखें.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2}} d x$

चरण 8

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

उत्पाद नियम को $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ पर लागू करें.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

चरण 8.2

$\cos^{2} (\frac{x}{2})$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$2 \cos^{2} (\frac{x}{2})$ में से $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ का गुणनखंड करें.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

चरण 8.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

चरण 8.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cdot 1^{2}} d x$

चरण 8.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cdot 1} d x$

चरण 8.3.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2} d x$

चरण 9

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{x}{2}) d x$

चरण 10

मान लीजिए $u = \frac{x}{2}$ .फिर $d u = \frac{1}{2} d x$ , तो $2 d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

मान लें $u = \frac{x}{2}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

$\frac{x}{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

चरण 10.1.2

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 10.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

चरण 10.1.4

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2}$

चरण 10.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

चरण 11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$\frac{1}{2}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

चरण 11.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) \cdot 2 d u$

चरण 11.3

$2$ को $\sec^{2} (u)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{2} \int 2 \sec^{2} (u) d u$

चरण 12

चूँकि $2$ बटे $u$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (2 \int \sec^{2} (u) d u)$

चरण 13

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

चरण 13.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

चरण 13.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 \int \sec^{2} (u) d u$

चरण 13.3

$\int \sec^{2} (u) d u$ को $1$ से गुणा करें.

$\int \sec^{2} (u) d u$

चरण 14

चूंकि $\tan (u)$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (u)$ है, $\sec^{2} (u)$ का समाकलन $\tan (u)$ है.

$\tan (u) + C$

चरण 15

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{x}{2}$ से बदलें.

$\tan (\frac{x}{2}) + C$

चरण 16

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\tan (\frac{1}{2} x) + C$