कैलकुलस उदाहरण

$\int x^{2} \sqrt{x + 1} d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x^{2}$ और $d v = \sqrt{x + 1}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$x^{2} (\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{2}{3}$ और ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$x^{2} \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

चरण 2.2

$x^{2}$ और $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

चरण 3

चूँकि $\frac{2}{3} \cdot 2$ बटे $x$ अचर है, $\frac{2}{3} \cdot 2$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 2 \int {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{2}{3}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{3} \int {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

चरण 4.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x) d x$

चरण 5

मान लीजिए $u = x + 1$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u = x + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$x + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 5.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 5.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 5.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (u - 1) d u$

चरण 6

$u^{\frac{3}{2}} (u - 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u + u^{\frac{3}{2}} \cdot - 1 d u$

चरण 6.2

$u^{\frac{3}{2}}$ और $- 1$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u - 1 \cdot u^{\frac{3}{2}} d u$

चरण 6.3

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u^{1} - 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

चरण 6.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2} + 1} - 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

चरण 6.5

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} - 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

चरण 6.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3 + 2}{2}} - 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

चरण 6.7

$3$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{5}{2}} - 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

चरण 7

$- 1 u^{\frac{3}{2}}$ को $- u^{\frac{3}{2}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{5}{2}} - u^{\frac{3}{2}} d u$

चरण 8

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\int u^{\frac{5}{2}} d u + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

चरण 9

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{5}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ है.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

चरण 10

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C - \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

चरण 11

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{3}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ है.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C - (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

चरण 12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

$\frac{2}{5}$ और $u^{\frac{5}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

चरण 12.1.2

$\frac{2}{7}$ और $u^{\frac{7}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

चरण 12.2

सरल करें.

$\frac{2}{3} x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

चरण 12.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

$\frac{2}{3}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2 x^{2}}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

चरण 12.3.2

$\frac{2 x^{2}}{3}$ और ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

चरण 12.3.3

$- \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}})$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot \frac{3}{3} + C$

चरण 12.3.4

$- \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}})$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 3}{3} + C$

चरण 12.3.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 3}{3} + C$

चरण 12.3.6

$\frac{2}{7}$ और $u^{\frac{7}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 3}{3} + C$

चरण 12.3.7

$u^{\frac{5}{2}}$ और $\frac{2}{5}$ को मिलाएं.

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}) \cdot 3}{3} + C$

चरण 12.3.8

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 3 (\frac{4}{3}) (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

चरण 12.3.9

$- 3$ और $\frac{4}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 \cdot 4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

चरण 12.3.10

$- 3$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 12}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

चरण 12.3.11

$- 12$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.11.1

$- 12$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

चरण 12.3.11.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.11.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 (1)} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

चरण 12.3.11.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 1} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

चरण 12.3.11.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4}{1} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

चरण 12.3.11.2.4

$- 4$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

चरण 12.3.12

$2$ को $u^{\frac{5}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

चरण 13

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 1$ से बदलें.

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

चरण 14

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{3} (2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2}{7} {(x + 1)}^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} {(x + 1)}^{\frac{5}{2}})) + C$