कैलकुलस उदाहरण

$\int \frac{2 x^{2} + 7 x - 3}{x - 2} d x$

चरण 1

$2 x^{2} + 7 x - 3$ को $x - 2$ से विभाजित करें.

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चरण 1.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$2$

$2 x^{2}$

$7 x$

$3$

चरण 1.2

भाज्य $2 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$2 x$
	$x$	-	$2$		$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$

चरण 1.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$2 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			+	$2 x^{2}$	-	$4 x$

चरण 1.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $2 x^{2} - 4 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$2 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$2 x^{2}$	+	$4 x$

चरण 1.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$2 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$11 x$

चरण 1.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$2 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$11 x$	-	$3$

चरण 1.7

भाज्य $11 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$2 x$	+	$11$
$x$	-	$2$		$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$11 x$	-	$3$

चरण 1.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$2 x$	+	$11$
$x$	-	$2$		$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$11 x$	-	$3$
					+	$11 x$	-	$22$

चरण 1.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $11 x - 22$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$2 x$	+	$11$
$x$	-	$2$		$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$11 x$	-	$3$
					-	$11 x$	+	$22$

चरण 1.10

				$2 x$	+	$11$
$x$	-	$2$		$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$11 x$	-	$3$
					-	$11 x$	+	$22$
							+	$19$

चरण 1.11

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\int 2 x + 11 + \frac{19}{x - 2} d x$

चरण 2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int 2 x d x + \int 11 d x + \int \frac{19}{x - 2} d x$

चरण 3

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int x d x + \int 11 d x + \int \frac{19}{x - 2} d x$

चरण 4

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 11 d x + \int \frac{19}{x - 2} d x$

चरण 5

स्थिरांक नियम लागू करें.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 11 x + C + \int \frac{19}{x - 2} d x$

चरण 6

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 11 x + C + \int \frac{19}{x - 2} d x$

चरण 7

चूँकि $19$ बटे $x$ अचर है, $19$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 11 x + C + 19 \int \frac{1}{x - 2} d x$

चरण 8

मान लीजिए $u = x - 2$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 8.1

मान लें $u = x - 2$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 8.1.1

$x - 2$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

चरण 8.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 8.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 8.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 8.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 8.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 11 x + C + 19 \int \frac{1}{u} d u$

चरण 9

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 11 x + C + 19 (\ln (| u |) + C)$

चरण 10

सरल करें.

$x^{2} + 11 x + 19 \ln (| u |) + C$

चरण 11

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 2$ से बदलें.

$x^{2} + 11 x + 19 \ln (| x - 2 |) + C$