कैलकुलस उदाहरण

$\int x \cos (4 x) d x$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = \cos (4 x)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$x (\frac{1}{4} \sin (4 x)) - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) d x$

चरण 2

सरल करें.

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चरण 2.1

$\frac{1}{4}$ और $\sin (4 x)$ को मिलाएं.

$x \frac{\sin (4 x)}{4} - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) d x$

चरण 2.2

$x$ और $\frac{\sin (4 x)}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{x \sin (4 x)}{4} - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) d x$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{x \sin (4 x)}{4} - (\frac{1}{4} \int \sin (4 x) d x)$

चरण 4

मान लीजिए $u = 4 x$ .फिर $d u = 4 d x$ , तो $\frac{1}{4} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 4.1

मान लें $u = 4 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 4.1.1

$4 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [4 x]$

चरण 4.1.2

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 \cdot 1$

चरण 4.1.4

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4$

चरण 4.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{4} \int \sin (u) \frac{1}{4} d u$

चरण 5

$\sin (u)$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{\sin (u)}{4} d u$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u)$

चरण 7

सरल करें.

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चरण 7.1

$\frac{1}{4}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int \sin (u) d u$

चरण 7.2

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{16} \int \sin (u) d u$

चरण 8

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का इंटीग्रल $- \cos (u)$ है.

$\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{16} (- \cos (u) + C)$

चरण 9

$\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{16} (- \cos (u) + C)$ को $\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16} + C$

चरण 10

$u$ की सभी घटनाओं को $4 x$ से बदलें.

$\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (4 x)}{16} + C$

चरण 11

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{4} x \sin (4 x) + \frac{1}{16} \cos (4 x) + C$