कैलकुलस उदाहरण

$x \sqrt{3 x + 1}$

चरण 1

$\sqrt{3 x + 1}$ को ${(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [x {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ है.

$x \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = 3 x + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3 x + 1$ के रूप में सेट करें.

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x + 1$ से बदलें.

$x (\frac{1}{2} {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$x (\frac{1}{2} {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 5

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$x (\frac{1}{2} {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x (\frac{1}{2} {(3 x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$x (\frac{1}{2} {(3 x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 7.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$x (\frac{1}{2} {(3 x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 8

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x (\frac{1}{2} {(3 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 8.2

$\frac{1}{2}$ और ${(3 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$x (\frac{{(3 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 8.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(3 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$x (\frac{1}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 8.4

$\frac{1}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x + 1] + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 9

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 10

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 11

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 12

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 + \frac{d}{d x} [1]) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 13

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 + 0) + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 14

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$3$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 3 + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 14.2

$\frac{x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ और $3$ को मिलाएं.

$\frac{x \cdot 3}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 14.3

$3$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{3 \cdot x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 15

$\frac{3 x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

चरण 16

${(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{3 x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

चरण 17

${(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{3 x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 18

${(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ और $\frac{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{3 x}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 19

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{3 x + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 20

घातांक जोड़कर ${(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ को ${(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.1

${(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$\frac{3 x + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 20.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{3 x + {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 20.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{3 x + {(3 x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 20.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{3 x + {(3 x + 1)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 20.5

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{3 x + {(3 x + 1)}^{1} \cdot 2}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 21

${(3 x + 1)}^{1} \cdot 2$ को सरल करें.

$\frac{3 x + (3 x + 1) \cdot 2}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 22

$2$ को $3 x + 1$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{3 x + 2 \cdot (3 x + 1)}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 23

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 23.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 x + 2 (3 x) + 2 \cdot 1}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 23.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 23.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 23.2.1.1

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{3 x + 6 x + 2 \cdot 1}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 23.2.1.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{3 x + 6 x + 2}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 23.2.2

$3 x$ और $6 x$ जोड़ें.

$\frac{9 x + 2}{2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$